Задача распределения средств на 1 год.

Пример: имеется запас средств, который нужно распределить между предприятиями, чтобы получить наибольшую прибыль. Пусть начальный капитал S₀ =100 д.ед. Функции дохода предприятий даны в матрице прибылей по каждому предприятию.

Решение:

Схема решения:

4 предприятия Условная оптимизация

денег всего S₀=80

S_o____Iпр____S₁____IIпр_____S₂____IIIпр____S₃____IVпр________S₄

1шаг 2 шаг 3 шаг 4 шаг

х₁ х₂ х₃ х₄

f(x₁) f(x₂) f(x₃) f(x₄)

F₄=max{f(x₄)}

Безусловная F₃=max{ f(x₃)+F₄}

Оптимизация F₂=max{ f(x₂)+F₃}

F₁=max{ f(x₁)+F₂}

Используется принцип Беллмана:

Каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце каждого шага. Использование данного принципа гарантирует, что управление, выбранное на любом шаге, не локально лучше, а лучше с точки зрения процесса в целом.

математическая модель прямой задачи:

Экономический смысл переменных:

x_i – количество денег, вкладываемых в i предприятие.

S_i – количество денег, оставшихся после вложения в i-предприятие (состояние системы на i-шаге);

F(x_i) – прибыль от вложенной суммы денег;

S₀ – начальный капитал.

Рассмотрим 4-й шаг:

На 4-ом предприятии может остаться либо 0, либо 20, либо 40, либо 60, либо 100 д.ед.Тогда прибыль от вложения денег можно получить следующую.

Рассмотрим 3-й шаг:

На 3-ем и 4-ем предприятии может остаться либо 0, либо 20, либо 40, либо 60, либо 100 д.ед. Рассмотрим первую возможность. Если 3-му предприятию мы выдаем 20 д.ед. то 4-му предприятию ничего не остается, и наоборот. Соответственно 40 д.ед.можно поделить так (0; 40), (20; 20);

60 д.ед. – (0; 60), (20; 40), (40; 20), (60; 0).

Прибыль от вложения денег в 3-е предприятие берется в исходной матрице прибылей, а прибыль от вложений, денег в 4-е предприятие берется из таблицы предыдущего шага

Прибыль на 3-м шаге берется максимальной по каждому вложению.