Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Свойства дисперсии.
1. Дисперсия суммы или разность двух и более взаимно независимых случайных величин всегда равна сумме дисперсии этих величин. Д(x±z±y)=Д(x)+Д(z)+Д(y). 2. Если С=const, то Д(С±z)=Д(z), Д(С× z)=С2× Д(z) Среднеквадратическое отклонение σ, равное корню квадратному из дисперсии, имеет физический смысл. Для выяснения физического смысла σ введем величину: . Величина U характеризует отклонение z от μ в единицах σ. Эта величина (u ) также имеет нормальное распределение с центром распределения равным нулю. Подсчитаем вероятность W(Up) того, что случайное значение U=Up больше некоторой заранее заданной величины К. Т.е. найти р(Up), для . Вид нормального закона для вычисления полной вероятности (3.1) Выполним замену переменных: , тогда , . Подставляя эти замены в уравнение (3.1) получим: . Так как данная функция симметрична относительно центра распределения (т.е. относительно нуля), то: Последнее уравнение разобьем в правой части на два слагаемых: , необходимо помнить, что u> 0. В полученном уравнении интеграл называется интегралом вероятности или функцией Лапласа . Интеграл Фл(uр) – характеризует вероятность попадания величины u в симметричный интервал [-uр, uр]. Второе слагаемое оценивает вероятность W(Up) попадания величины u за пределы интервала [ -uр, uр ]. Величина функции Лапласа протабулирована. . Определим вероятность того, что случайная величина z будет отличаться от ее среднего значения μ на один, два и три стандарта. При использовании . Если , т.е отклонение z от μ равно одному стандарту, то u=1. Только 31, 73% всех значений будут отличаться от μ больше чем на σ, только 4, 55% - больше чем на 2σ и только 0, 27% - больше чем на 3σ. Так при
При , т.е. при , вероятность , т.е. вероятность того, что при измерении равно 100%. С ростом вероятность его отклонения от μ более заданной точности резко уменьшается. Условно принимается, что вероятность 0, 27% является малой, и потому случайные отклонения больше, чем на , считаются невероятными. Последнее позволяет сформулировать «Правило ». Если измеряемая величина имеет значение отличающееся от среднего более чем на , то результат не может быть объяснен действиями случайных факторов и связан с систематическими ошибками (т.е. имеет физическую причину) или является грубой ошибкой (промахом). Рассмотрим методы оценки вероятности того, что данное измерение является промахом. 1. Метод исключения при известной σ. Пусть проведено n измерений величины z: z1, z2, …, zn. Пусть один из результатов измерений z* резко отличается от остальных измерений. Надо оценить является ли z* промахом. Считаем среднее арифметическое значение измеренных величин: (z* в эту сумму не включаем) Найдем разность: . Подсчитаем: Сравним: т.е. Рассчитаем интеграл вероятность Ф (t) по таблицам. Определим вероятность 1-2 Ф (t). Т.е. рассчитаем вероятность того, что t примет значение не меньшее Если 1-2 Ф(t) окажется очень малой, то «выскакивающее» значение является грубой ошибкой для оценки уровня малых вероятностей используют один из трех уровней (например α): 5%-ый уровень (исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше 0, 05); 1%-ый уровень (исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше 0, 01); 0, 1%-ый уровень (исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше 0, 001). Т.е. если α =0, 01 и 1-2 Ф(t) < 0, 01, то значение z* можно считать грубой ошибкой с надежностью вывода Пример: Есть 41 независимое измерение со средней квадратической ошибкой . Из них есть - величина, рассматриваемая как промах. из остальных 40 измерений равно 6, 5. Решение: ; ; 1-2 Ф (2, 72)=0, 0066< 0, 007 Следовательно с надежностью выхода 1-0, 07=0, 993 z* содержит грубую ошибку.
2. Метод исключения при неизвестной σ Оценим σ по формуле: т.н. эмпирический стандарт . Полученное значение t-критерия сравнивают с критическим значением критерия Стьюдента tn(P), которое определяют из статистических таблиц. Если t > tn(P), то z* исключают как грубую ошибку.
|