Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Свойства дисперсии.






1. Дисперсия суммы или разность двух и более взаимно независимых случайных величин всегда равна сумме дисперсии этих величин. Д(x±z±y)=Д(x)+Д(z)+Д(y).

2. Если С=const, то Д(С±z)=Д(z), Д(С× z)=С2× Д(z)

Среднеквадратическое отклонение σ, равное корню квадратному из дисперсии, имеет физический смысл. Для выяснения физического смысла σ введем величину: . Величина U характеризует отклонение z от μ в единицах σ.

Эта величина (u ) также имеет нормальное распределение с центром распределения равным нулю.

Подсчитаем вероятность W(Up) того, что случайное значение U=Up больше некоторой заранее заданной величины К.

Т.е. найти р(Up), для .

Вид нормального закона для вычисления полной вероятности

(3.1)

Выполним замену переменных:

, тогда , . Подставляя эти замены в уравнение (3.1) получим:

. Так как данная функция симметрична относительно центра распределения (т.е. относительно нуля), то:

Последнее уравнение разобьем в правой части на два слагаемых:

, необходимо помнить, что u> 0.

В полученном уравнении интеграл называется интегралом вероятности или функцией Лапласа .

Интеграл Фл(uр) – характеризует вероятность попадания величины u в симметричный интервал [-uр, uр].

Второе слагаемое оценивает вероятность W(Up) попадания величины u за пределы интервала [ -uр, uр ].

Величина функции Лапласа протабулирована.

.

Определим вероятность того, что случайная величина z будет отличаться от ее среднего значения μ на один, два и три стандарта.

При использовании .

Если , т.е отклонение z от μ равно одному стандарту, то u=1.

Только 31, 73% всех значений будут отличаться от μ больше чем на σ, только 4, 55% - больше чем на и только 0, 27% - больше чем на .

Так при

При , т.е. при , вероятность , т.е. вероятность того, что при измерении равно 100%. С ростом вероятность его отклонения от μ более заданной точности резко уменьшается. Условно принимается, что вероятность 0, 27% является малой, и потому случайные отклонения больше, чем на , считаются невероятными.

Последнее позволяет сформулировать «Правило ». Если измеряемая величина имеет значение отличающееся от среднего более чем на , то результат не может быть объяснен действиями случайных факторов и связан с систематическими ошибками (т.е. имеет физическую причину) или является грубой ошибкой (промахом).

Рассмотрим методы оценки вероятности того, что данное измерение является промахом.

1. Метод исключения при известной σ.

Пусть проведено n измерений величины z: z1, z2, …, zn. Пусть один из результатов измерений z* резко отличается от остальных измерений. Надо оценить является ли z* промахом.

Считаем среднее арифметическое значение измеренных величин:

(z* в эту сумму не включаем)

Найдем разность: .

Подсчитаем:

Сравним: т.е.

Рассчитаем интеграл вероятность Ф (t) по таблицам.

Определим вероятность 1-2 Ф (t).

Т.е. рассчитаем вероятность того, что t примет значение не меньшее

Если 1-2 Ф(t) окажется очень малой, то «выскакивающее» значение является грубой ошибкой для оценки уровня малых вероятностей используют один из трех уровней (например α):

5%-ый уровень (исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше 0, 05);

1%-ый уровень (исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше 0, 01);

0, 1%-ый уровень (исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше 0, 001).

Т.е. если α =0, 01 и

1-2 Ф(t) < 0, 01, то значение z* можно считать грубой ошибкой с надежностью вывода

Пример: Есть 41 независимое измерение со средней квадратической ошибкой . Из них есть - величина, рассматриваемая как промах. из остальных 40 измерений равно 6, 5.

Решение: ; ;

1-2 Ф (2, 72)=0, 0066< 0, 007

Следовательно с надежностью выхода 1-0, 07=0, 993

z* содержит грубую ошибку.

 

2. Метод исключения при неизвестной σ

Оценим σ по формуле:

т.н. эмпирический стандарт

. Полученное значение t-критерия сравнивают с критическим значением критерия Стьюдента tn(P), которое определяют из статистических таблиц. Если t > tn(P), то z* исключают как грубую ошибку.

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.