Обработка измерительных данных.

Случайные и систематические погрешности. Законы распределения случайных погрешностей измерений. Оценка погрешностей прямых и косвенных измерений. Устранение грубых промахов.

Обратимся теперь к случайным погрешностям измерений. Случайными называются погрешности, которые при повторных измерениях принимают различные взаимно независимые значения. Случайные погрешности могут возникать в результате случайных изменений внешних условий, а также колебаний в электрических цепях, люфтов, зазоров в механических звеньях прибора и множества других причин. Из-за неопределенности по величине и знаку при каждом измерении они не могут быть устранены введением поправок.

Помимо систематических и случайных по источникам возникновения выделяют грубые погрешности или промахи. Это погрешности, вызванные явными нарушениями правил эксплуатации приборов, их неисправностями или какой-то не постоянно действующей помехой. Измерения с грубыми погрешностями обычно исключаются из рассмотрения результатов. Но для этого нужно иметь для этого какие-то основания. Если экспериментатор установил причину промаха, то он имеет основания отбросить сомнительное значение измеренной величины. Если же измеренное значение просто как-то вырывается из общей массы измеренных величин (либо заметно меньше, либо больше), то отбрасывание сомнительного значения можно подкрепить анализом массива данных методами математической статистики.

Исходным материалом при обработке является совокупность n результатов измерений физической величины x₁, x₂, …., x_n.Основной характеристикой случайной погрешности измерений является функция распределения величины (F x), то-есть вероятность того, что измеренная величина ξ меньше некоторого значения х. Связанная с этой функцией величина p(x) – плотность вероятности характеризует вероятность попадания измеренной величины ξ в диапазон x-dx < ξ < x+dx. Напомним также, что плотность вероятности удовлетворяет условию нормировки:

Здесь а – минимальное значение, b – максимальное значение в выборке измеренных величин.

В практике измерений встречаются различные функции распределения (F x). При обработке результатов многократных измерений функция F(x) строится как накопленная вероятность. Или же строится гистограмма частоты появления измеренных значений ξ в выборке. Эта гистограмма при большом числе измерений должна быть близкой к плотности вероятности случайной величины p(x).

Чаще всего при обработке результатов измерений используют гауссовскую функцию распределения (иначе называемую нормальным распределением).

Здесь х_ср – среднее значение (или математическое ожидание случайной величины).

Дисперсия величины х и средне квадратичное отклонение σ равны

Принято результат многократных измерений выражать в виде х = х_ср ± 3 σ. Это значит, что вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в указанный диапазон равна 0, 9973. Иногда ставят менее жёсткие границы х = х_ср ± 2 σ, что означает вероятность попадания в указанный диапазон 0, 995.

В реальном эксперименте функция распределения отличается от гауссовской, потому что число измерений ограничено, и диапазон изменения величины также ограничен: бесконечно больших и бесконечно малых значений величины х быть в принципе не может. Часто на практике не проверяют, насколько плотность вероятности близка к теоретической кривой гауссовского распределения. Ограничиваются качественными соображениями. Для использования приведенной выше методики обработки результатов измерений должны выполняться два условия. Отклонения величин от среднего значения в большую и меньшую стороны должны наблюдаться приблизительно одинаково часто. Большие отклонения от х_ср должны встречаться реже, чем малые отклонения. Если принимается, что распределение подчиняется нормальному закону, то подозрительные измерения можно отбросить на основании правила трёх сигма. Процедура состоит в следующем:

1. Предполагают, что различия в результатах вызваны действием случайных независимых мешающих факторов и есть основания предполагать нормальный закон распределения.

2. Определяют х_ср и σ. Выбирают доверительный интервал (например, ±3 σ). Все значения вне интервала отбрасываются как грубые погрешности. Затем пересчитывают вновь х_ср и σ. И вновь проверяют, выпадают ли какие-то оставшиеся значения из нового доверительного интервала.

Значения х_ср и σ можно определить непосредственно из ряда результатов измерений, не используя плотность вероятности p(x). Для этого пользуются формулами:

Другое часто встречающееся на практике распределение случайных погрешностей – это однородное распределение. Плотность вероятности p(x) постоянная в пределах от минимального до максимального значений измеренной величины. p(x) = const. Из условий нормировки плотности вероятности следует величина этой постоянной. Const = 1/(b – a).

Такое распределение имеет мести, когда погрешности измерений вызваны округлением результатов. Другой случай появления однородно распределённых погрешностей измерений связан с работой механических рычажных приборов. В таких приборах проявляются люфты и зоны нечувствительности из-за трения в шарнирных соединениях. Правило трёх сигма в этом случае неприменимо.