Производные и дифференциалы высших порядков.

Определение 1. Частная производная (если она существует) от частной производной первого порядка функции называется частной производной второго порядка.

Дифференцируя по и по , получим две частные производные второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

, .

Аналогично для :

, .

Производные и называются смешанными производными, они отличаются тем, что первая получена дифференцированием функции сначала по , а затем по , вторая, наоборот, – сначала по , затем по .

Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго.

Пример 3. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Находим сначала частные производные первого порядка:

, ,

а затем частные производные второго порядка:

, ,

, .

В примере 1 смешанные производные оказались тождественными, и это не случайно, так как имеет место следующая теорема.

Теорема 1. (о равенстве смешанных производных) Если функция и ее частные производные , , , определены и непрерывны в точке и в некоторой ее окрестности, то в этой точке справедливо равенство: .

Если частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Пример 4. Найти частные производные второго порядка от функции .