Математические свойства пары взаимно двойственных задач

Исходная (прямая) задача

Исходная в матричном виде

Двойственная задача

Двойственная задача в матричном виде

Лемма 1: двойственная задача к двойственной является исходной задачей.

Лемма 2 (основное неравенство теории двойственности): для любого допустимого решения прямой задачи и любого допустимого решения двойственной задачи критерий задачи максимизации не превосходит критерия задачи минимизации.

(7)

Доказательство:

, для него выполняются (2) и (3).

, для него выполняются (5) и (6).

Покажем, что выполняется (7). Заменяя бó льшим значением из (5), затем бó льшим значением из (2), получим

Теорема доказана.

Экономическая интерпретация основного неравенства теории двойственности: Суммарный доход на любом плане не может превзойти суммарной оценки используемых ресурсов при любых допустимых оценках.

Доказательство:

Покажем, что в условиях леммы – оптимальное решение (). Выберем произвольное . По основному неравенству теории двойственности , по условию леммы , значит .

А это означает, что – оптимальное решение прямой задачи.

Аналогичным образом доказывается, что – оптимальное решение двойственной задачи.

Доказательство приведем для прямой задачи в канонической форме:

Двойственная задача

· Пусть – опорное оптимальное решение прямой задачи,

– его базисная матрица, тогда

,
и его базисные компоненты можно записать в виде

· По теореме 4 выполняется признак оптимальности

, (11)

· Покажем, что оптимальное решение двойственной задачи может быть найдено в виде

Подставим (12) в (11), получим

Неравенство (13) означает, что вектор – допустимое решение двойственной задачи

· Покажем, что для этого вектора выполняется условие (9):

Тогда по лемме 3, если на двух допустимых решениях и критерии равны , то и – оптимальные решения своих задач.

Тем самым доказано, что – оптимальное решение двойственной задачи.

Теорема 1*: если исходная задача неразрешима из-за неограниченности критерия, то область допустимых решений двойственной задачи пуста.

Доказательство:

Предположим, что (область допустимых решений двойственной задачи не пуста). Тогда по лемме 2 для любого . Но по условию теоремы критерий исходной задачи не ограничен. Значит наше предположение не верно.

Тогда можно сделать вывод, что .

Теорема доказана.

Экономическая интерпретация первой теоремы двойственности: если существует оптимальный план производства, то существуют такие оценки ресурсов (производственных факторов), на которых достигается минимальная оценка затрат ресурсов и затраты полностью окупаются доходом, то есть производство эффективно – без потерь.

Варианты разрешимости задач двойственной пары

Вариант 1: Обе задачи разрешимы.

Построим двойственную задачу:

Вариант 2: Критерий одной задачи не ограничен, область допустимых решений другой задачи пуста.

.

Построим двойственную задачу:

Вариант 3: Области допустимых решений обеих задач пусты.

, .

Построим двойственную задачу:

Таким образом, можно выделить следующие варианты разрешимости:

1.

2.

3.

Следствие из первой теоремы двойственности: для разрешимости пары двойственных задач необходимо и достаточно, чтобы множество планов каждой из задач было не пустым.