В.С. Громницкий

Экономический факультет

Кафедра экономической информатики

В.С. Громницкий

Методы оптимизации

Курс лекций

Записано и оформлено выпускницей экономического факультета
Андреевой Екатериной Павловной

Рекомендовано методической комиссией экономического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 080801 «Прикладная информатика (в экономике)»

Нижний Новгород

УДК 65.012.122 (075, 8)

ББК Ув6я73

Г 87

Г87 Громницкий В.С. Методы оптимизации. Курс лекций: Учебное пособие – Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2014. – 109 с.

В пособии представлен материал по разделам прикладной математики, освоение которых необходимо для первоначального ознакомления с математическими методами принятия решений в экономико-управленческой сфере.

Приводится классификация задач принятия решений, дается понятие математического моделирования. Подробно излагаются методы линейного программирования, включая теорию двойственности и послеоптимизационный анализ. Даются основы нелинейного программирования.

Пособие предназначено для студентов экономического факультета университета, обучающихся по специальности «Прикладная информатика в экономике», может быть полезно для научных и практических работников, занимающихся вопросами моделирования и оптимизации экономических процессов.

Рецензент: доцент, к.э.н. Пчелинцев Александр Дмитриевич

ББК Ув6я73

© Громницкий В.С., 2014

© Нижегородский государственный

университет им. Н.И. Лобачевского, 2014

Содержание

Введение. 4

Задачи принятия решений. 5

Математическое моделирование. 7

Часть I. Линейное программирование.. 9

Глава 1. Линейные математические модели в экономических исследованиях.. 9

1.1. Экономические задачи. 9

1.2. Общий вид математической модели задачи линейного программирования. 11

1.3. Различные формы задач линейного программирования. 12

1.4. Графическое решение задач. 17

Глава 2. Математические свойства задачи линейного программирования. 20

2.1. Свойства области допустимых решений. 20

2.2. Базисные и опорные решения. 22

Глава 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. 24

3.1. Идея симплекс-метода. 24

3.2. Векторное представление симплексных преобразований. 25

3.3. Симплекс-метод в уравнениях. 26

3.4. Симплекс-метод в таблицах. 29

3.5. Варианты разрешимости задачи линейного программирования. 33

3.6. Предупреждение зацикливания симплекс-метода. 34

Глава 4. Метод искусственного базиса.. 35

4.1. Построение начального опорного плана. 35

4.2. Решение задачи линейного программирования методом искусственного базиса. 38

Глава 5. Теория двойственности в задачах линейного программирования. 40

5.1. Построение двойственной задачи и ее экономическая интерпретация. 40

5.2. Математические свойства пары взаимно двойственных задач. 43

5.3. Анализ чувствительности оптимального решения к изменению свободных членов ограничений. 51

5.4. Определение оптимального решения двойственной задачи из оптимальной симплекс-таблицы прямой. 59

5.5. Двойственный симплексный метод. 61

Глава 6. Послеоптимизационный анализ задачи линейного программирования. 66

6.1. Добавление нового ограничения. 67

6.2. Добавление новой переменной. 69

6.3. Изменение коэффициентов критерия. 71

6.4. Изменение технологических коэффициентов. 75

Часть II. Методы нелинейной оптимизации.. 77

Глава 7. Классическая теория оптимизации.. 77

7.1. Необходимые условия оптимальности. 77

7.2. Достаточные условия оптимальности. 78

Глава 8. Нелинейное программирование. 81

8.1. Задачи на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. 81

8.2. Задачи выпуклого программирования. 84

8.3. Задачи квадратичного программирования. 86

Задания к лабораторным работам.. 91

Лабораторная работа 1. Свойства области допустимых решений задачи линейного программирования. 91

Лабораторная работа 2. Симплекс-метод. Варианты разрешимости задачи линейного программирования. 91

Лабораторная работа 3. Теория двойственности в задачах линейного программирования. 92

Лабораторная работа 4. Послеоптимизационный анализ задач линейного программирования. 92

Перечень задач к лабораторным работам 3 и 4. 94

Литература.. 109