Логика предикатов.

Изучить по учебной литературе вопросы:

4.1. Предикаты. Основные понятия.

4.2. Следование одного предиката из другого. Равносильность предикатов. Равносильные преобразования.

4.3. Логические операции над одноместными предикатами.

4.4. Кванторные операции над одноместными и двуместными предикатами.

4.5. Построения отрицаний к предикатам, содержащим кванторы.

4.6. Запись математических утверждений с помощью логики предикатов.

Примеры решения задач рассмотрены на пятом обзорном установочном занятии.

Пример 1. Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истин­ности, если область определения D = R для одноместных предикатов и D = R× R для двухместных предикатов:

1. х + 5 = 1

2. при х = 2 выполняется равенство х ² – 1 = 0

3. х ² – 2 х + 1 = 0

4. существует такое число х, что х ³ – 2 х + 1 = 0

5. х + 2 < З х – 4

6. однозначное неотрицательное число х кратно 3

7. (х + 2) – (3 х – 4)

8. х ² + у ² > 0

Решение. 1) Предложение является одноместным предикатом

Р (х) = {– 4};
2) предложение не является предикатом. Это ложное высказывание;
3) предложение является одноместным предикатом Р (х) = {1};
4) предложение не является предикатом. Это истинное высказывание;
5) предложение является одноместным предикатом Р (х) = (3; +∞);
6) предложение является одноместным предикатом Р (х) = {0; 3; 6; 9};
7) предложение не является предикатом;
8) предложение является двухместным предикатом Q (х, y) = R× R \ {(0, 0)}.

Пример 2.

Определить множество истинности предикатов, заданных на соответствующих множествах:

1. Р: «х кратно 3», Область определения: D={1, 3, 5, 6, 9};

2. Q: «sin²x + cos²x = 1».

Решение.

1. Т(Р)= {3, 6, 9};

2. Т(Q) = R – множество вещественных чисел.

Пример 3.

На множестве М= {3, 4, 5, 6, 7, 8} заданы предикаты P(x): «х – простое число», Q(x): «х – нечетное число». Составить таблицы истинности. Равносильны ли предикаты на множестве а) М; б) L = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; в) К = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?

Составим таблицы истинности предикатов на данных множествах:

На множестве М Т(Р) = Т(Q), следовательно на этом множестве предикаты равносильны. На множествах L и К условие равносильности не соблюдается.

Пример 4. Р(х): «х²£ 0», Q(x): «2^|x| = cosx».

Область истинности предиката Р(х): х =0, область истинности предиката Q(x): х = 0.

Значит, Т(Р) = Т(Q) и предикаты равносильны.

После изучения теории и решения примеров по данной теме можно решить задание №6 и №7 контрольной работы.

Варианты контрольной работы находятся в Приложении 1.

Итоговая аттестация проходит в форме дифференцированного зачёта. Вопросы к зачёту находятся в Приложении 2.

Список литературы:

1. А.В.Фёдорова «Основы теории множеств» (методическое пособие). СПб, СПИШЭ, 2007

2. А.В.Фёдорова «Элементы математической логики» (методическое пособие). СПб, СПбКИУ, 2008 г

3. А.В.Фёдорова «Элементы математической логики: булевы функции» (методическое пособие). СПб, СПбКИУ, 2008 г

4. М. С. Спирина, П. А. Спирин «Дискретная математика». Москва, «Академия», 8-е изд., 2012 г

5. И. В. Романовский «Дискретный анализ», СПб, «Невский диалект», 2000.

Интернет-ресурсы:

· www.bestreferat.ru/referat-201452.html

· vmg.pp.ua/books/Математика