Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Задание 5. Самостоятельная работаСтр 1 из 2Следующая ⇒
Самостоятельная работа Обыкновенные Дифференциальные уравнения ТЕМА 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. 3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. - СПб.: Иван Федоров, 2003. - 287 с. 2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений: Учеб. для вузов. - 8-е изд., стер. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 486 с. 3. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие. - 7-е изд., доп. - СПб.: Лань, 2002. - 431 с. 4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.Т.2.- 2002.- 544 с. Решение типового варианта контрольной работы. Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.
а) . Решение. Попытаемся разделить переменные интегрирования. Для этого вынесем за скобки общий множитель: , разнесем слагаемые: ; выражая из полученного уравнения убедимся в том, что и, значит, наше уравнение является дифференциальным уравнением в разделяющихся переменных. Разделим переменные. . Проинтегрируем получившееся выражение по соответствующим переменным: . Получим , . Таким образом, мы убедились в том, что - общий интеграл заданного уравнения. Ответ: .
б) . Решение. Убедимся в том, что переменные разделить не удается. Поэтому поделим обе части уравнения на x. - Убедимся в том, что производная в представленном уравнении зависит только от отношения , то есть и, значит, это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Будем решать его с помощью соответствующей замены. Введем новую переменную . ; ; ; проинтегрируем выражение
; ; ; ; - общее решение уравнения. Ответ: .
в) . Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены: . ; ; ; ; ; ; ; ; ; - общее решение уравнения. Ответ: .
Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям . Решение. - неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 2-ого порядка. Решение будем искать в виде суммы решений: общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения , которое будем искать по виду правой части. Начнем с отыскания . Составим характеристическое уравнение: . Следовательно, общее решение однородного уравнения: . будем искать в виде . - частное решение уравнения, поэтому оно превращает его в верное числовое тождество. Подставим его в уравнение и вычислим А. . . Значит . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения . Для вычисления частного решения определим значения констант исходя из начальных условий: ; ; ; Ответ: .
Задание 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений . Решение. Сведем предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по t: и заменим воспользовавшись для этого вторым уравнением системы: . Окончательно . - однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: . Следовательно, решение: . Из первого уравнения , поэтому ; . Ответ: ; . Задание 4. Записать уравнение кривой, проходящей через точку , для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу). Решение. Пусть искомое уравнение кривой. Проведем касательную MN в произвольной точке M(x; y) кривой до пересечения с осью Оу в точке N. Согласно условию, должно выполняться равенство , но , а найдем из уравнения , полагая X=0, то есть . Итак, приходим к однородному уравнению . Полагая y=tx (y’=t’x+t), получим или , откуда – данное решение представляет собой семейство парабол, осью которых является ось Оу. Определим значение константы С исходя из того, что кривая проходит через точку . Подставляя координаты заданной точки в вышенайденное общее решение, получим ; из двух значений С=0 и С=2 нас устраивает лишь второе, так как при С=0 парабола оказывается вырожденной. Итак, искомое решение , или . Ответ: . Задание 5.
а) Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: . Ответ. . б) Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Поскольку данное уравнение не содержит в явном виде переменной , то замена позволяет преобразовать его в уравнение первого порядка с разделяющимися переменными . ; . Учтя, что – произвольная постоянная, то полученное решение можно упростить: . Ответ. .
в) Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Так как решаемое уравнение не содержит явно переменной , будем получать его решение с помощью введения новой переменной , откуда , так как в этом случае мы вычисляем производную сложной функции. Заданное уравнение в результате такой замены будет иметь вид: . Решение является особым, и, делая обратную замену в этой ситуации, запишем: . Оставшееся уравнение является уравнением в разделяющихся переменных: . Интегрируя последнее равенство, получим . Выразим теперь функцию : . Делая вновь обратную замену , получим: . В данном уравнении можно разделить переменные: . Интегрируя последнее выражение, получим . Получившаяся неявная функция также является решением заданного дифференциального уравнения. Ответ. ; . Задание 6. Решить уравнение . Решение. Правая часть уравнения представляет собой дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выпишем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка . Так как корнями соответствующего характеристического уравнения являются числа , то общее решение данного уравнения, как известно, имеет вид . Правая часть исходного уравнения не позволяет найти частное решение неоднородного уравнения методом подбора (или неопределенных коэффициентов) поэтому воспользуемся для его нахождения методом вариации произвольных постоянных. Поэтому будем искать частное решение в виде: , предполагая, что здесь и (мы воспользовались видом найденной фундаментальной системы решений однородного уравнения), а и решения следующей системы дифференциальных уравнений: таким образом . Из второго уравнения выпишем . Проинтегрировав, получим (постоянную интегрирования будем полагать равной нулю). Теперь, подставляя значение в первое уравнение системы, получим дифференциальное уравнение для функции : . Вновь интегрируя, запишем: . Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид , выпишем общее решение неоднородного дифференциального уравнения Ответ. .
|