Уравнение Самуэльсона

Уравнение Самуэльсона моделирует связь между изменением цены р и неудовлетворенным спросом D(p) — S(p), где D(p) — функция спроса, S(p) — функция предложения при цене р.

Уравнение Самуэльсона имеет вид

dp/dt = k(D(p)-S(p)), (3)

где k > 0 — коэффициент пропорциональности.

Изменение цены на товар пропорционально величине неудовлет­воренного спроса на этот товар.

Предположим, что спрос и предложение задаются линейными функциями

D(p) = a - bp, S(p) = , (4)

где - некоторые положительные числа.

С учетом (4) уравнение (3) примет вид

dp/dt = ). (5)

Полученное уравнение является линейным дифференциаль­ным уравнением.

Найдем решение соответствующего ему однородно­го уравнения.

Имеем

,

, ,

В качестве частного решения уравнения (5) можно использовать стационарное равновесное решение p(t) = = const, где р* — корень уравнения D(p) = S(p). В этом случае обе части уравнения (3) будут равны нулю. Из уравнения (4) находим стационарное решение:

, выраженное в виде графика 2

Рисунок 3 Стационарное решение Тогда общее решение уравнения (4) имеет вид

Из уравнения (5) следует, что:

1) если , то с течением времени интегральные кривые будут от­даляться от состояния равновесия р* (рис. 4);

2) если , то p(t) = const (рис. 5);

3) если , то с течением времени интегральные кривые р* (рис. 6) будут асимптотически приближаться к состоянию равно­весия.

1

Рисунок4 Интегральные кривые, удаляющиеся от состояния равновесия

Рисунок 5 Цена постоянна во времени

Рисунок 6 Интегральные кривые, приближающиеся к состоянию равновесия

Задание 2 - функции спроса и предложения на некоторый товар име­ют вид , . Найти зависимость равно весной цены от времени t, если в начальный момент времени цена p = 20.

Решение. Для нахождения равновесной цены приравняем правые части

функции спроса и предложения: 19+р+4р' = 28-2р+3р' и получим дифференциальное уравнение с разделяющими переменными:

р' = 9 - 3р, или

dp/dt = 9 - 3p.

Разделим переменные: dp/(9 - 3р) = dt.

Интегрируя обе части диф­ференциального уравнения , получим или .

Откуда .

Подставляя начальное условие, найдем С и частное решение .

Так как , то имеем устойчивое равновесие.

Заметим, что если , то равновесная цена растет и имеет место инфляция.