Третий этап

а. Закрываем левый продувочный вентиль 9 и снова открываем левый рабочий вентиль 8. Устанавливается первоначальная разность уровней.

б. Закрываем правый рабочий вентиль 8 и открываем продувочный 9. Устанавливается разность уровней , которая покажет нам величину вакуумметрического давления в левом резервуаре:

.

в. Разность дает нам представление о манометрическом давлении в правом резервуаре.

г. Весь опыт повторить, начиная с первого этапа, делая 10 оборотов маховика насоса.

Результаты поместить в табл. 2.

Таблица 2

Экспериментальные данные и обработка результатов

Таблица 3

Размерность давления

Таблица 4

Связь между единицами давления

4.3. Задание к практическому занятию

Указания к решению задач. При решении задач по гидростатике прежде всего нужно хорошо усвоить и не смешивать такие понятия, как давление р и сила давления Р.

При решении задач на определение давления в той или иной точке неподвижной жидкости следует пользоваться основным уравнением гидростатики (3.8) либо его второй формой (3.9). Нужно иметь в виду, что второй член в правой части уравнения (3.9) может быть как положительным, так и отрицательным. Очевидно, что при увеличении глубины давление возрастает, а при подъеме – уменьшается.

Необходимо твердо различать давления абсолютное, избыточное и вакуум и обязательно знать связь между давлением, удельным весом и высотой, соответствующей этому давлению.

Пример 1. В резервуаре с дизельным топливом (r _д = 870 кг/м³) (рис. 9) уровень осевшей в отстойнике воды (r _в = 1000 кг/м³) H ₁ = 150 мм. Показатели водяного пьезометра h_в = 500 мм. Определить уровень топлива H ₂, если давление в резервуаре по манометру равно р_м = 0, 0005 МПа.

Решение: Эту задачу будем решать в абсолютных давлениях. Так, абсолютное давление на дно резервуара со стороны пьезометра р_абс(п) определится как:

.

Абсолютное давление на дно резервуара со стороны резервуара р_абс(р) определится как:

.

Здесь следует учесть то, что манометр М показывает избыточное манометрическое давление. Решая задачу в абсолютных давлениях необходимо к показанию манометра прибавить значение атмосферного давления.

Составляя уравнение равновесия относительно дна резервуара, получим:

или

.

Отсюда:

Пример 2. Определить абсолютное и избыточное гидростатическое давление в точке А (рис. 10), расположенной в воде на глубине h_А = 2, 5 м, и пьезометрическую высоту для точки А, если абсолютное гидростатическое давление на поверхности р ₀ = 147, 2 кПа.

Решение: Согласно основного уравнения гидростатики абсолютное гидростатическое давление в точке А определится:

Избыточное давление в точке А равно:

.

Пьезометрическая высота для точки А равна:

Определить эти же величины U-образным манометром, заполненным ртутью. По поверхности раздела m-n ртути и воды давления со стороны резервуара и открытого конца манометра будут одинаковы:

Следовательно, избыточное давление в точке А уравновешивается весом столба ртути высотой h_pт над поверхностью раздела m-n:

Находим высоту ртутного столба h_pт:

где – плотность ртути.

Пример 3. Построить эпюру манометрического давления на затвор ОА, если глубина воды перед затвором Н = 2 м, а за затвором h = l м (рис. 11).

Решение: эпюра гидростатического давления слева изображается треугольником ОАВ с основанием:

,

справа – треугольником О ₁ АС с основанием:

.

Часть гидростатического давления на затвор слева уравновешивается направленным в противоположную сторону давлением справа.

Результирующая эпюра изображается трапецией OAED с основаниями ОА = Н, DE = h и высотой AE = g r (H – h) = 9, 81 кПа.

Пример 4. Найти начальное подъемное усилие Т, если сила тяги действует нормально к плоскости прямоугольного затвора шириной b = 4 м (рис. 12). Глубина воды перед затвором h ₁ = 3 м, за ним h ₂ = 1, 2 м. Расстояние от шарнира до уреза воды а = 0, 8 м. Угол наклона затвора к горизонту a = 60°, масса затвора 2 т. Трением в шарнире пренебречь.

Решение: силы манометрического давления на плоский затвор, действующие слева и справа, определяются по формуле:

.

Сила давления слева:

Сила давления справа:

Равнодействующая равна разности параллельных и направленных в противоположные стороны сил давления:

.

Расстояние от свободной поверхности до центра давления левой силы определяется по формуле:

Определим необходимые величины:

Слева от затвора:

– расстояние до центра тяжести:

;

– момент инерции:

;

– площадь смоченной стенки:

;

– расстояние до центра давления:

Справа от затвора:

– расстояние до центра тяжести:

;

– момент инерции:

;

– площадь смоченной стенки:

– расстояние до центра давления:

Воспользуемся теоремой механики о моменте равнодействующей и составим уравнение моментов относительно линии уреза:

.

Отсюда после подстановки числовых значений координата равнодействующей равна l_ц.д. = 2, 18 м.

Кроме сил давления, на затвор действуют сила тяжести, приложенная в его центре тяжести; архимедова (выталкивающая) сила, действие которой в начальный момент не учитывается; реакции шарнира.

Составив уравнение моментов всех действующих сил относительно шарнира 0, можно, не определяя реакции в шарнире, вычислить искомое начальное подъемное усилие Т:

.

Здесь ;

Подставив числовые значения, получим:

Т = 126 кН.

Пример 5. Определить силу давления воды на затвор и положение центра давления, если глубина воды перед затвором h = 3 м, радиус затвора r = 2 м, ширина пролета b = 6 м (рис. 13).

Решение. Определяем горизонтальную составляющую силы давления на затвор:

Объем тела давления в данном случае равен объему тела с сечением ABDEF:

Следовательно, вертикальная составляющая силы давления на затвор определится как:

и направлена вверх.

Равнодействующая Р вычисляется по формуле (3.17):

Эпюра давления на вертикальную проекцию цилиндрической поверхности представляет собой трапецию с основаниями r ga и r gh. Горизонтальная составляющая Р_х проходит через центр тяжести трапеции на расстоянии от свободной поверхности:

Вертикальная составляющая Р_z проходит через центр тяжести фигуры ABDEF.

Равнодействующая Р наклонена к горизонту под углом a, функции которого равны:

Точка, в которой линия действия силы Р пересекается с криволинейной поверхностью, называется центром давления. Поскольку эта линия, нормальная к поверхности, всегда проходит по радиусу через центр кривизны В, а угол наклона ее к горизонту известен из (3.20), координаты центра давления можно вычислить по формулам:

Тогда получим:

Задача 1. Определить манометрическое давление на дно сосуда, наполненного двумя жидкостями (рис. 14). Слой воды h ₂ = 0, 5 м, слой керосина (r = 760 кг/м³) h ₁ = 0, 7 м.

Ответ: р_м = 10 124 Па.

Задача 2. Определить манометрическое давление в точке А трубопровода, если высота столба ртути по пьезометру h_р = 0, 25 м. Центр трубопровода расположен на h = 0, 4 м ниже линии раздела между водой и ртутью (рис. 15, а).

Ответ: р_мА = 37 278 Па.

Задача 3. Определить, на какой высоте h установится уровень ртути в пьезометре, если при манометрическом давлении в трубе, заполненной водой, р_мА = 39 240 Па и показании h_р = 0, 25 м система находится в равновесии (рис. 15, б).

Ответ: h = 0, 6 м.

Задача 4. Определить силы давления на дно Р_дн и стенки сосуда P ₁и Р ₂, наполненного водой (рис. 16). Ширина сосуда по дну b = 5 м, по верху В = 7, 31 м, длина боковой стенки l = 3м. Давление на свободной поверхности атмосферное. Глубина воды в сосуде h = 2 м.

Ответ: Р_дн = 294, 3 кН, P ₁ = 113, 1 кН; Р ₂ = 680 кН.

Задача 5. Определить, на каком расстоянии х от дна надо расположить ось вращения плоского прямоугольного затвора шириной b = 1 м, чтобы при увеличении глубины в верхнем бьефе h ₁ он открывался автоматически (рис. 17). Затвор закрыт при h ₁ = 2 м и глубине в нижнем бьефе h ₂ = 0, 9 м.

Ответ: х = 0, 76 м.

Задача 6. Определить тяговые усилия Т ₁и Т ₂ для круглых плоских затворов диаметром d = l, 2 м (рис. 18). Глубина погружения верхней кромки затворов а = 0, 8 м.

Ответ: Т ₁ = 6, 93 кН, Т ₂ = 8, 58 кН.

Задача 7. На гребне водосливной части пло­тины установлен сегментный затвор (рис. 19), поддерживающий напор Н = 3, 03 м. Радиус затвора r = 3, 5 м, угол a = 60°. Ширина пролета b = 10 м. Определить силу давления на затвор Р и координаты центра давления х и z.

Ответ: Р = 582 кН, х = 2, 71м, z = 2, 22 м.

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что изучает гидростатика?

2. Какое равновесие называют абсолютным?

3. Какое равновесие называют относительным?

4. Укажите, при каких условиях из дифференциального уравнения движения в напряжениях можно получить уравнение гидростатики.

5. Запишите уравнение Эйлера.

6. Что называется поверхностью равного давления? Запишите дифференциальное уравнение поверхности равного давления.

7. Для случая покоящейся жидкости получите уравнение равного давления.

8. Для случая движущейся жидкости с постоянным ускорением получите уравнение равного давления.

9. Для случая вращающейся жидкости вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью получите уравнение равного давления.

10. Запишите основное уравнение гидростатики.

11. Что такое пьезометрическая высота?

12. Что такое вакуумметрическая высота?

13. Что называют гидростатическим напором?

14. Дайте формулировку закона Паскаля.

15. По какому закону изменяется давление с увеличением глубины погружения жидкости?

16. Что называется эпюрой давления?

17. Какое давление называется абсолютным?

18. Какое давление называется манометрическим?

19. Какое давление называется вакуумметрическим?

20. Покажите взаимосвязь между абсолютным, манометрическим и вакуумметрическим давлениями.

21. Каким прибором можно измерить разность давлений?

22. Как определить силу давления и точку ее приложения на плоскую наклонную стенку?

23. Как найти силу давления жидкости на цилиндрическую стенку?

24. Сформулируйте закон Архимеда.

6. ЛИТЕРАТУРА

1. Альтшуль, А.Д. Гидравлика и аэродинамика / А.Д. Альтшуль, П.Г. Кисилев. – М.: Стройиздат, 1975. – 323 с.

2. Штеренлихт, Д.В. Гидравлика: учебник для вузов / Д.В. Штеренлихт. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 640 с.

3. Примеры расчетов по гидравлике: учеб. пособие для вузов. / под ред. А.Д. Альтшуля. – М.: Стройиздат, 1977. – 256 с.

4. Чугаев, Р.Р. Гидравлика / Р.Р. Чугаев. – Л.: Энергия, 1982. – 600 с.

5. Ботук, Б.О. Гидравлика / Б.О. Ботук. – М.: Высш. шк., 1962. – 450 с.

6. Медведев, В.Ф. Гидравлика и гидравлические машины: учеб. пособие / В.Ф. Медведев. – Минск: Выш. шк., 1998. – 311 с.

7. Рабинович, Е.З. Гидравлика / Е.З. Рабинович. – М.: Физматгиз, 1963. – 408 с.

8. Федяевский, К.К. Гидромеханика: учебник для вузов /
К.К. Федяев­ский, Я.И. Войткунский, Ю.И. Фаддеев. – Л.: Судостроение, 1968. – 568 с.

МОДУЛЬ 4

КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ

1. ВВЕДЕНИЕ

Кинематика жидкости – раздел гидродинамики, в котором изучается только геометрические свойства движения жидкости без учёта влияния сил, вызывающих это движение. В силу этого все основные выводы кинематики справедливы для любой жидкости, как вязкой, так и невязкой.

В основу изучения кинематики жидкости положена гипотеза о непрерывности изменения кинематических параметров (скоростей, ускорений). Иными словами скорость жидкости предполагается непрерывной от координат, а функции, описывающие движение жидкости – дифференцируемыми.

Иногда свойство непрерывности кинематических параметров может нарушаться – в точке, на линии, на поверхности. Эти области непрерывности скорости называются особыми точками, линиями разрыва и поверхностями разрыва.

Для удобства исследования любой жидкости объем можно представить состоящим из большого числа жидких частиц. В соответствии с этим к исследованию движения жидкой частицы возможен такой же подход, как и к исследованию движения точки в механике. При этом частицу отождествляют с материальной точкой, рассматриваемой в теоретической механике.

Жидкая частица – часть жидкости, малая по сравнению с объемом рассматриваемой жидкости, и в то же время объем частицы велик по сравнению с объемом молекулы жидкости. В частице содержится так много молекул, что жидкость в пределах частицы можно считать сплошной средой – континуумом.

В общем случае движение жидкости можно считать определенным, если известны законы движения всех частиц, то есть положение каждой частицы задано как функция времени.

2. ДВА МЕТОДА ИЗУЧЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Для удобства исследования любой жидкости объем можно представить состоящим из большого числа жидких частиц. В соответствии с этим к исследованию движения жидкой частицы возможен такой же подход, как и к исследованию движения точки в механике. При этом частицу отождествляют с материальной точкой, рассматриваемой в теоретической механике.

Такой подход получил название метода Лагранжа (рис. 4.1).

В начальный момент времени выделим в жидкости фиксированную частицу с координатами x₀, y₀, z₀. Движение этой частицы известно, если известны законы изменения координат, характеризующих положение частицы с течением времени:

(4.1)

Исключая из этих уравнений время t, получим уравнение траектории, то есть след движения частицы в пространстве. Переменные x ₀, y ₀, z ₀ и t называют переменными Лагранжа.

Проекции скоростей частиц жидкости определяются зависимостями:

,

где – рассматриваются как параметры, а ускорения – зависимостями

.

Для описания движения жидкого объема, содержащего N частиц, следует задать соответствующее число систем уравнений типа (4.1), что создает большие математические трудности.

В чистом виде метод Лагранжа используется редко. Он позволяет проследить за движением любой фиксированной частицы, однако это излишне, поскольку все частицы практически одинаковы. Метод Лагранжа находит применение при решении ряда специальных задач, например волновых движений.

Широкое применение для исследования получил метод Эйлера (рис. 4.2). По этому методу рассматривают поле скоростей в точках пространства, занятого движущейся жидкостью, и исследуют характер изменения скорости в этих точках в зависимости от времени. Под скоростью в точке пространства понимают скорость жидкой частицы, которая в данный момент времени находится в этой точке. Поле скоростей по этому методу создается в виде:

или

,

где – координаты точки пространства, а не жидкой частицы.

Скорость u называется мгновенной местной скоростью. Совокупность мгновенных местных скоростей представляет собой векторное поле, называемое полем скоростей. В общем случае поле скоростей может изменяться во времени и по координатам. Переменные x, y, z, t называют переменными Эйлера.

Как известно, чтобы задать движение твердого тела, необходимо знать скорости трех его точек (не лежащих на одной прямой). Если же нужно задать движение жидкости, то есть тела легко деформируемого, требуется знать скорость во всех точках занимаемого пространства. Число этих точек в пределе стремиться к бесконечности.

Метод Эйлера проще метода Лагранжа, так как в нем используется хорошо разработанный математический аппарат теории поля. Применяя метод Эйлера, который не позволяет учесть индивидуальность каждой частицы, следят за поведением различных частиц, проходящих через фиксированную точку пространства.

3. ЛИНИЯ ТОКА И ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТРУЙКА

С методом Эйлера тесно связано понятие линии тока. Выделим в потоке в фиксированный момент времени ряд точек. Проведем линию, касательные к которой совпадали бы с направлением векторов скорости жидких частиц, находящихся в этих точках. Эта линия называется линией тока (рис. 4.3).

Иными словами линия тока касательная к векторам скоростей. Она соединяет отдельные жидкие частицы в один и тот же момент времени, чем существенно отличается от траектории, представляющей след движения одной частицы.

Траекторией называется путь, проходимый данной частицей жидкости в пространстве за определенный промежуток времени. При установившемся движении форма траекторий не изменяется во время движения. При неустановившемся движении непрерывно изменяются и величины, и направления скорости движения. Траектории движения частиц в этом случае также непрерывно изменяются во времени.

Получим дифференциальные уравнения линий тока, учитывая, что их векторный элемент совпадает с направлением вектора скорости , то есть || .

Воспользовавшись тем, что векторное произведение двух векторов равно нулю, запишем дифференциальное уравнение линии тока в векторном виде:

Раскрывая векторное произведение, получим

или, приравнивая множители при ортах нулю,

Поделив первый член этой системы на , второй на , третий на , представим ее в виде

Это соотношение может быть записано более компактно:

Необходимо иметь в виду различие между траекторией частицы жидкости и линией тока. В то время как траектория относится лишь к одной определенной частице жидкости и показывает путь, проходимый этой частицей в пространстве за некоторый промежуток времени, линия тока связывает между собой различные лежащие на ней частицы и характеризует направление их движения в данный момент времени.

Линии тока соответствуют состоянию поля скоростей в движущейся жидкости в данный момент времени. Если в следующий момент поле скоростей изменится, то изменится и положение линий тока.

Однако в случае установившегося движения, характеризуемого неизменяемостью поля скоростей во времени, частицы жидкости будут следовать вдоль неизменных линий тока; таким образом, линии тока и траектории частиц жидкости совпадают между собой только при установившемся движении.

Линии тока и траектории можно сделать видимыми, чем широко пользуются в лабораторной практике при различного рода экспериментальных исследованиях и наблюдениях над движением жидкости. Для этого, например, на поверхности жидкости рассеивают мелкие частицы какого-нибудь вещества, нерастворимого в жидкости, и при помощи фотографического аппарата производят съемку. При съемке с короткой выдержкой эти частицы дают на пластинке короткие черточки (штрихи), которые при достаточно большом количестве частиц сливаются и показывают общую картину линий тока (рис. 4.4).

Введем понятие трубки тока. Выделим в жидкости замкнутый контур, не являющийся линией тока. Через каждую точку этого контура проведем линию тока и получим трубчатую поверхность тока – трубку тока. Жидкость, заключенная внутри контура тока, называется жидкой струйкой. В общем случае скорости жидкости по поперечному сечению струйки различны. Элементарной называют жидкую струйку, в которой можно пренебречь изменением скорости по ее поперечному сечению.

4. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим зависимость поля скоростей потока от времени (признак классификации).

Установившимся называют такое движение, при котором скорость потока в любой точке пространства не зависит от времени.

В противном случае движение жидкости называется неустановившимся.

Живым сечением потока называется поверхность, нормальная к векторам скоростей. Если S поверхности живого сечения, то расход через нее выражается как

.

Введем среднюю по живому сечению скорость. Под ней понимается фиктивная, постоянная по живому сечению скорость , обеспечивающая одинаковый с заданным расход. Из этого определения следует, что

.

Средняя скорость равна расходу, деленному на площадь живого сечения:

.

Рассмотрим поток жидкости (рис. 4.7) конечных размеров, ограниченный с боков твердыми стенками . Проведем два произвольных живых сечения и . Расход жидкости через замкнутую поверхность , согласно предыдущим выводам, равен нулю.

Считая поток вытекающей жидкости положительным, а втекающей – отрицательным, запишем

и поскольку , то , то есть расход жидкости вдоль потока конечных размеров постоянен. С учетом введения понятия средних скоростей последнее равенство может быть записано в виде:

.

Уравнение неразрывности в такой форме находит широкое применение при исследовании течений жидкости.

6. АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ

Классификация движений жидкости на основании зависимости скоростей потока от времени позволяет дать лишь внешнее описание их особенностей. Чтобы выявить внутренние особенности течения, необходимо исследовать распределение скоростей внутри жидкой частицы. Это позволит судить о ее движении в целом.

При рациональном методе исследования какого-либо явления его сравнивают с другим, более простым явлением, определяя особенности более сложного явления по сравнению с простым.

Сравним движение жидкой частицы с известным из теоретической механики движением абсолютно твердого тела. Движение жидкой частицы носит более сложный характер, поскольку она в отличие от твердого тела может деформироваться, причем очень значительно по сравнению с упругим телом.

В курсе теоретической гидромеханики аналитически показано, что

,

то есть скорость любой точки жидкой частицы складывается из скорости полюса , скорости вращения вокруг собственной оси, проходящей через полюс и скорости деформированного движения .

Это положение представляет собой формулировку теоремы Коши – Гельмгольца.

Впервые полеченная формула отличается от аналогичной формулы для твердого тела только наличием члена .

Однако член, характеризующий вращение лишь по форме совпадает с аналогичным членом для твердого тела. Жидкая частица с течением времени деформируется, изменяет свою форму. Поэтому член описывает вращение жидкой частицы как отвердевшего тела лишь в данный момент времени, так как по прошествии этого времени она изменяет свою форму.

Дальнейший анализ формулы Коши – Гельмгольца показывает, что в произвольном случае движения жидкости скорость можно представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых является потенциальным вектором, а другое имеет вихревую природу:

,

где .

Если угловые скорости вращения равны нулю, то скорость является потенциальным вектором:

.

Подобное движение образует класс безвихревых или потенциальных движений.

Если не равно нулю, движение жидкости называется вихревым.

Таким образом, на основании формулы Коши – Гельмгольца, все течение жидкости можно разделить на вихревое и потенциальное. Методы исследования этих течений существенно различаются.

7. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Вихревым называется такое движение жидкости, при котором вектор угловой скорости отличен от нуля.

Вихревой линией называют линию, в каждой точке которой в данный момент времени вектор угловой скорости совпадает с касательной к этой линии.

Дифференциальное уравнение вихревой линии:

,

где dx, dy, dz - проекции элемента вихревой линии;

- проекции угловой скорости.

Аналогично понятию трубки тока вводится понятие вихревой трубки.

Вихревая трубка - часть жидкости, ограниченная вихревыми линиями, проведенными через точки произвольного замкнутого контура.

Элементарной вихревой трубкой называют такую, для которой применением угловой скорости по искомому сечению можно пренебречь.

Воздействие вихревой трубки на окружающую жидкость характеризуется ее интенсивностью.

Под интенсивностью вихревой трубки понимается удвоенный поток вектора угловой скорости через произвольные поперечные сечения вихревой трубки:

.

Можно показать, что - интенсивность элементарной вихревой трубки.

.

Введем фундаментальное в гидромеханике понятие циркуляции скорости Г. Она представляет собой криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора скорости на дифференциал радиус-вектора точки контура .

.

Связь между интенсивностью и циркуляцией устанавливается теоремой Стокса. Формулируется эта теорема так: поток вектора вихря через произвольную замкнутую поверхность равен циркуляции скорости по контуру, на который опирается эта поверхность.

Смысл теоремы состоит в том, что интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по контуру, на который опирается площадь поперечного сечения трубки:

.

Понятие интенсивности и циркуляции является чисто кинематическими, следовательно, теорема Стокса одинаково справедлива для течения как вязкой, так и невязкой жидкости.