Методы математической статистики в психоаого-педагогическом иссаедовании

Применение математики к другим нау­кам имеет смысл только в единении с глубокой теорией конкретного явления. Об этом важно помнить, чтобы не сби­ваться на простую игру в формулы, за ко­торой не стоит никакого реального содер­жания.

Академик Ю. А. Митрополъский

Теоретические методы исследования в психологии и педагогике дают возможность раскрыть качественные характеристики изуча­емых явлений. Эти характеристики будут полнее и глубже, если на­копленный эмпирический материал подвергнуть количественной об­работке. Однако проблема количественных измерений в рамках пси­холого-педагогических исследований очень сложна. Эта сложность заключается прежде всего в субъективно-причинном многообразии педагогической деятельности и ее результатов, в самом объекте из­мерения, находящемся в состоянии непрерывного движения и изме­нения. Вместе с тем введение в исследование количественных пока­зателей стало сегодня необходимым и обязательным компонентом получения объективных данных о результатах педагогического тру­да. Как правило, эти данные могут быть получены путем прямого или опосредованного измерения различных составляющих педагоги­ческого процесса либо посредством количественной оценки соответ­ствующих параметров адекватно построенной математической мо­дели педагогического процесса. С этой целью при исследовании проблем психологии и педагогики применяются методы математиче­ской статистики. С их помощью решаются различные задачи: обра­ботка фактического материала, получение новых, дополнительных данных, обоснование научной организации исследования и др

Основные понятия математической статистики

Исключительно важную роль в анализе многих психолого-педагоги­ческих явлений играют средние величины, представляющие собой обобщенную характеристику качественно однородной совокупности по определенному количественному признаку. Нельзя, например, вы­числить среднюю специальность или среднюю национальность сту­дентов вуза, так как специальность и национальность — качественно разнородные явления. Зато можно и нужно определить среднюю ко­личественную характеристику их успеваемости (средний балл), эф­фективности методических систем и приемов и т. д.

В психолого-педагогических исследованиях обычно применяют­ся различные виды средних величин: средняя арифметическая, сред­няя геометрическая, медиана, мода и др. Наиболее распространены средняя арифметическая, медиана и мода.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда меж­ду определяющим свойством и данным признаком имеется прямо пропорциональная зависимость (например, при улучшении показа­телей работы учебной группы улучшаются показатели работы каж­дого ее члена).

Средняя арифметическая представляет собой частное от деления суммы величин на их число и вычисляется по формуле

где X — средняя арифметическая; Х_ь Х₂, Х₃... Х_ы — результаты отдель­ных наблюдений (приемов, действий), N — количество наблюдений (приемов, действий), Σ — сумма результатов всех наблюдений (приемов, действий).

Медианой (Ме) называется мера среднего положения, характе­ризующая значение признака на упорядоченной (построенной по признаку возрастания или убывания) шкале, которое соответствует середине исследуемой совокупности. Медиана может быть определе­на для порядковых и количественных признаков. Место расположе­ния этого значения определяется по формуле

_Л. N + 1
Место медианы =

Например, по результатам исследования установлено, что:

на «отлично» учатся 5 человек из участвующих в эксперименте;

на «хорошо» — 18 человек;

на «удовлетворительно» — 22 человека;

на «неудовлетворительно» — 6 человек.

Так как всего в эксперименте принимало участие N = 54 человека, то середина выборки равна 0, 5 х N= 27 человек. Отсюда делается вы­вод, что больше половины обучающихся учатся ниже оценки «хоро­шо», т. е. медиана больше «удовлетворительно», но меньше «хоро­шо» (рис. 6.1

Мода (Мо) — наиболее часто встречающееся типичное значение признака среди других значений. Она соответствует классу с макси­мальной частотой. Этот класс называется модальным значением.

Например, если ответы на вопрос анкеты «Укажите степень вла­дения иностранным языком» распределились таким образом:

1 — владею свободно — 25;

2 — владею в степени, достаточной для общения — 54;

3 — владею, но испытываю трудности при общении — 253;

4 — понимаю с трудом — 173;

5 — не владею — 28,

то очевидно, что наиболее типичным значением здесь является «Владею, но испытываю трудности при общении», которое и будет модальным. Таким образом, мода равна 253.

Важное значение при использовании в психолого-педагогиче­ском исследовании математических методов уделяется расчету дис­персии и среднеквадратических (стандартных) отклонений.

Дисперсия равна среднему квадрату отклонений значения иссле­дуемой переменной от среднего значения. Она выступает как одна из характеристик индивидуальных результатов разброса значений ис­следуемой переменной (например, оценок учащихся) вокруг средне­го значения. Вычисление дисперсии осуществляется путем опреде­ления:

♦ отклонения от среднего значения;

♦ квадрата указанного отклонения;

♦ суммы квадратов отклонения и среднего значения квадрата от­клонения (табл. 6.1

Значение дисперсии используется в различных статистических расчетах, но не имеет непосредственного наблюдаемого характера. Величиной, непосредственно связанной с содержанием наблюдаемой переменной, является среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение подтверждает типичность и показательность средней арифметической, отражает меру колебания численных значений признаков, из которых выводится средняя ве­личина. Оно равно корню квадратному из дисперсии и определяется по формуле

где а — средняя квадратическая. При малом числе наблюдения (дей­ствий) — менее 100 — в значении формулы следует ставить не N, аN-1.

Средняя арифметическая и средняя квадратическая являются ос­новными характеристиками полученных результатов в ходе исследо­вания. Они позволяют обобщить данные, сравнить их, установить преимущества одной психолого-педагогической системы (програм­мы) над другой.

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение широко при­меняется как мера разброса для различных характеристик. На рис. 6.2 приведен пример распределения частот значений двух переменных с одинаковыми средними, но различным разбросом.

Значение переменной

Рис. 6.2. Кривая нормального распределения вероятности случайной величины (закон Гаусса)

Оценивая результаты исследования, важно определить рассеива­ние случайной величины около среднего значения. Это рассеивание описывается с помощью закона Гауса (закона нормального распреде­ления вероятности случайной величины). Суть закона заключается в том, что при измерении некоторого признака в данной совокупности элементов всегда имеют место отклонения в обе стороны от нормы вследствие множества неконтролируемых причин, при этом чем больше отклонения, тем реже они встречаются.

При дальнейшей обработке данных могут быть выявлены: коэф­фициент вариации (устойчивости) исследуемого явления, представ­ляющий собой процентное отношение среднеквадратического от­клонения к средней арифметической; мера косости, показывающая, в какую сторону направлено преимущественное число отклонений; мера крутости, которая показывает степень скопления значений случайной величины около среднего и др. Все Среднее квадратическое отклонение подтверждает типичность и показательность средней арифметической, отражает меру колебания численных значений признаков, из которых выводится средняя ве­личина. Оно равно корню квадратному из дисперсии и определяется по формуле

где а — средняя квадратическая. При малом числе наблюдения (дей­ствий) — менее 100 — в значении формулы следует ставить не N, аN-1.

Средняя арифметическая и средняя квадратическая являются ос­новными характеристиками полученных результатов в ходе исследо­вания. Они позволяют обобщить данные, сравнить их, установить преимущества одной психолого-педагогической системы (програм­мы) над другой.

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение широко при­меняется как мера разброса для различных характеристик. На рис. 6.2 приведен пример распределения частот значений двух переменных с одинаковыми средними, но различным разбросом.

Значение переменной

Рис. 6.2. Кривая нормального распределения вероятности случайной величины (закон Гаусса)

Оценивая результаты исследования, важно определить рассеива­ние случайной величины около среднего значения. Это рассеивание описывается с помощью закона Гауса (закона нормального распреде­ления вероятности случайной величины). Суть закона заключается в том, что при измерении некоторого признака в данной совокупности элементов всегда имеют место отклонения в обе стороны от нормы вследствие множества неконтролируемых причин, при этом чем больше отклонения, тем реже они встречаются.

При дальнейшей обработке данных могут быть выявлены: коэф­фициент вариации (устойчивости) исследуемого явления, представ­ляющий собой процентное отношение среднеквадратического от­клонения к средней арифметической; мера косости, показывающая, в какую сторону направлено преимущественное число отклонений; мера крутости, которая показывает степень скопления значений случайной величины около среднего и др. Все Таким образом, коэффициент корреляции Пирсона для выбран­ного примера равен 0, 32, т. е. зависимость между семейным положе­нием студентов и фактами исключения из университета незначи­тельная.

Значение коэффициента Спирмена изменяется в пределах от - 1 до +1. В первом случае между анализируемыми переменными суще­ствует однозначная, но противоположено направленная связь (с уве­личением значений одной уменьшается значения другой). Во втором с ростом значений одной переменной пропорционально возрастает значение второй переменной. Если величина Д. равна нулю или име­ет значение, близкое к нему, то значимая связь между переменными отсутствует.

Статистическая проверка научной гипотезы. Доказательство статистической достоверности экспериментального влияния суще­ственно отличается от доказательства в математике и формальной логике, где выводы носят более универсальный характер: статисти­ческие доказательства не являются столь строгими и окончательны­ми — в них всегда допускается риск ошибиться в выводах, и потому

статистическими методами не доказывается окончательно правомер­ность того или иного вывода, а показывается мера правдоподобности принятия той или иной гипотезы.

Педагогическая гипотеза (научное предположение о преимущест­ве того или иного метода и т. п.) в процессе статистического анализа переводится на язык статистической науки и заново формулируется, по меньшей мере, в виде двух статистических гипотез. Первая (основ­ная) называется нулевой гипотезой (Я_о), в которой исследователь говорит о своей исходной позиции. Он априори как бы декларирует, что новый метод (предполагаемый им, его коллегами или оппонента­ми) не обладает какими-либо преимуществами, и потому с самого начала исследователь психологически готов занять честную научную позицию: различия между новым и старым методами объявляются равными нулю. В другой, альтернативной гипотезе (Н_{) делается предположение о преимуществе нового метода. Иногда выдвигается несколько альтернативных гипотез с соответствующими обозначе­ниями.

Например, гипотеза о преимуществе старого метода обозначается как (Н₂). Альтернативные гипотезы принимаются тогда и только то­гда, когда опровергается нулевая гипотеза. Это бывает в случаях, когда различия, скажем, в средних арифметических эксперименталь­ной и контрольной групп настолько значимы (статистически досто­верны), что риск ошибки отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную не превышает одного из трех принятых уровней значимости статистического вывода:

♦ первый уровень — 5 % (в научных текстах пишут иногда р = 5 % или а < 0, 05, если представлено в долях), где допускается риск
ошибки в выводе в пяти случаях из ста теоретически возможных таких же экспериментов при строго случайном отборе испытуемых для каждого эксперимента;

♦ второй уровень — 1 %, т. е. соответственно допускается риск ошибиться только в одном случае из ста (а < 0, 01, при тех же требова­ниях);

♦ третий уровень — 0, 1 %, т. е. допускается риск ошибиться только
в одном случае из тысячи (а < 0, 001).

Последний уровень значимости предъявляет очень высокие тре­бования к обоснованию достоверности результатов эксперимента и потому редко используется.

При сравнении средних арифметических экспериментальной и контрольной групп важно определить, какая средняя не только боль­ше, но и насколько больше. Чем меньше разница между ними, тем более приемлемой окажется нулевая гипотеза об отсутствии стати­стически значимых (достоверных) различий. В отличие от мышле­ния на уровне обыденного сознания, склонного воспринимать полу­ченную в результате опыта разность средних как факт и основание для вывода, педагог-исследователь, знакомый с логикой статистиче­ского вывода, не будет торопиться в таких случаях. Он, скорее всего, сделает предположение о случайности различий, выдвинет нулевую гипотезу об отсутствии достоверных различий в результатах экспе­риментальной и контрольной групп и лишь после опровержения ну­левой гипотезы примет альтернативную.

Таким образом, вопрос о различиях в рамках научного мышления переводится в другую плоскость. Дело не только в различиях (они почти всегда есть), а в величине этих различий и отсюда — в опреде­лении разницы и границы, после которого можно сказать: да, раз­личия неслучайны, они статистически достоверны, а значит, испы­туемые этих двух групп принадлежат после эксперимента уже не к одной (как раньше), а к двум различным генеральным совокупно­стям, и уровень подготовленности учащихся, потенциально принад­лежащих этим совокупностям, будет существенно отличаться. Для того чтобы показать границы этих различий, используются так назы­ваемые оценки генеральных параметров.

Рассмотрим на конкретном примере (табл. 6.6), как с помощью математической статистики можно опровергнуть или подтвердить ну­левую гипотезу.

Допустим, необходимо определить, зависит ли эффективность групповой деятельности студентов от уровня развития межличност­ных отношений в их учебной группе. В качестве нулевой гипотезы выдвигается предположение, что такой зависимости не существует, а в качестве альтернативной — зависимость существует. Для этих це­лей сравниваются результаты эффективности деятельности в двух группах, одна из которых в этом случае выступает в качестве экспе­риментальной, а вторая — контрольной. Чтобы определить, является ли разность между средними значениями показателей эффективно­сти в первой и во второй группах существенной (значимой), необхо­димо вычислить статистическую достоверность этой разницы. Для

Многомерные методы анализа данных. Анализ взаимосвязи ме­жду большим количеством переменных осуществляется путем ис­пользования многомерных методов статистической обработки. Цель применения подобных методов — обнаружить скрытые закономер­ности, выделить наиболее существенные взаимосвязи между пере­менными. Примерами таких многомерных статистических методов являются:

факторный анализ; кластерный анализ; дисперсионный анализ; регрессионный анализ; латентно-структурный анализ; многомерное шкалирование и др.

Факторный анализ заключается в выявлении и интерпретации факторов. Фактор — обобщенная переменная, которая позволяет свернуть часть информации, т. е. представить ее в удобообозримом виде. Например, факторная теория личности выделяет ряд обобщен­ных характеристик поведения, которые в данном случае называются чертами личности.

Кластерный анализ позволяет выделить ведущий признак и ие­рархию взаимосвязей признаков.

Дисперсионный анализ — статистический метод, используемый для изучения одной или нескольких одновременно действующих и независимых переменных на изменчивость наблюдаемого признака. Его особенность состоит в том, что наблюдаемый признак может быть только количественным, в то же время объясняющие признаки могут быть как количественными, так и качественными.

Регрессионный анализ позволяет выявить количественную (чи­сленную) зависимость среднего значения изменений результативно­го признака (объясняемой) от изменений одного или нескольких признаков (объясняющих переменных). Как правило, данный вид анализа применяется в том случае, когда требуется выяснить, на­сколько изменяется средняя величина одного признака при измене­нии на единицу другого признака.

Латентно-структурный анализ представляет собой совокупность аналитико-статистических процедур выявления скрытых перемен­ных (признаков), а также внутренней структуры связей между ними

Он дает возможность исследовать проявления сложных взаимосвя­зей непосредственно ненаблюдаемых характеристик социально-пси­хологических и педагогических феноменов. Латентный анализ мо­жет стать основой для моделирования указанных взаимосвязей.

Многомерное шкалирование обеспечивает наглядную оценку сходства или различия между некоторыми объектами, описываемы­ми большим количеством разнообразных переменных. Эти различия представляются в виде расстояния между оцениваемыми объектами в многомерном пространстве.

Статистическая обработка результатов психолого-педагогического исследования

В любом исследовании всегда важно обеспечить массовость и пред­ставительность (репрезентативность) объектов изучения. Для реше­ния этого вопроса обычно прибегают к математическим методам рас­чета минимальной величины подлежащих исследованию объектов (групп респондентов), чтобы на этом основании можно было сделать объективные выводы.

По степени полноты охвата первичных единиц статистика делит исследования на сплошные, когда изучаются все единицы изучаемо­го явления, и выборочные, если изучению подвергается только часть интересующих явлений, взятая по какому-либо признаку. Исследо­вателю не всегда представляется возможность изучить всю совокуп­ность явлений, хотя к этому постоянно следует стремиться, но, с дру­гой стороны, сплошное исследование часто просто не требуется, так как выводы будут достаточно точными после изучения определен­ной части первичных единиц.

Теоретической основой выборочного способа исследования вы­ступает теория вероятностей и закон больших чисел. Чтобы исследо­вание располагало достаточным количеством фактов, наблюдений, используют таблицу достаточно больших чисел. От исследователя в данном случае требуется установление величины вероятности и ве­личины допускаемой ошибки. Пусть, например, допускаемая ошиб­ка в выводах, которые должны быть сделаны в результате наблюде­ний, по сравнению с теоретическими предположениями, не должна превышать 0, 05 как в положительную, так и в отрицательную сторо­ны (иначе говоря, мы можем ошибиться не более чем в 5 случаях из 100). Тогда по таблице достаточно больших чисел (табл. 6.7)' на­ходим, что правильное заключение может быть сделано в 9 случаях из 10 тогда, когда число единиц наблюдения будет не менее 270, в 99 случаях из 100 — при наличии не менее 663 единиц и т. д. Зна­чит, с увеличением точности и вероятности, с которой мы предпола­гаем сделать выводы, величина требуемой выборки возрастает. Од­нако в психолого-педагогическом исследовании она не должна быть чрезмерно большой. Как правило, для основательных выводов впол­не достаточно 300-500 выбранных для наблюдения единиц.

Данный способ определения величины выборки является наибо­лее простым. Математическая статистика располагает и более слож­ными методами вычисления требуемых выборочных совокупностей, которые подробно освещены в специальной литературе.

Однако соблюдение требований массовости еще не обеспечивает надежности выводов. Они будут достоверны тогда, когда единицы, выбранные для наблюдения (бесед, эксперимента и т. д.), будут до­статочно представительными для изучаемого класса явлений.

Таблица 6.7

Краткая таблица достаточно больших чисел

Репрезентативность единиц наблюдения обеспечивается прежде всего их случайным выбором с помощью таблиц случайных чисел. Положим, для проведения массового эксперимента требуется опре­делить 20 учебных групп из имеющихся 200. Для этого составляется нумерованный список всех групп. Затем из таблицы случайных чисел выписываются 20 номеров, начиная с какого-либо числа, через определенный интервал. Эти 20 случайных чисел определяют те группы, которые нужны исследователю. Случайный выбор объектов из общей (генеральной) совокупности дает основание утверждать, что полученные при исследовании выборочной совокупности еди­ниц результаты не будут резко отличаться от тех, которые имелись бы в случае исследования всей совокупности единиц.

В практике психолого-педагогических исследований применя­ются не только простые случайные отборы, но и более сложные ме­тоды отбора: расслоенный случайный отбор, многоступенчатый от­бор и др.

Математические и статистические методы исследования явля­ются также средствами получения нового фактического материала. С этой целью используются приемы шаблонирования, повышающие информативную емкость анкетного опроса и приемы шкалирования, дающие возможность более точно оценивать действия как исследо­вателя, так и исследуемых.

Шкалы возникли из-за необходимости объективно и точно ди­агностировать и измерять интенсивность определенных психолого-педагогических явлений. Шкалирование дает возможность упорядо­чить, количественно оценить, определить низшую и высшую ступе­ни исследуемого явления.

Так, при исследовании познавательных интересов студентов можно установить их границы: очень большой интерес — очень сла­бый интерес. Между этими границами ввести ряд ступеней, создаю­щих шкалу познавательных интересов: очень большой интерес (1); большой интерес (2); средний (3); слабый (4); очень слабый (5).

В психолого-педагогических исследованиях используются шка­лы разных видов, например: