Применение метода Лагранжа для решения задачи оптимального распределения потоков мощности в сети

Метод состоит в определении минимума функции Лагранжа, в которую входят Δ Р и уравнения первого закона Кирхгофа, каждое из которых умножается на соответствующий множитель Лагранжа.

Рассмотрим задачу ОРС предыдущего примера когда потоки реактивной мощности Q_kj = 0. Равенство нулю потоков Q в линиях 12, 23, 13 означает, что в узлах 2 и 3 имеет место полная компенсация реактивной мощности.

Вид задачи: определить:

Минимум (11)

при выполнении

(12)

Функция Лагранжа

где λ ₁, λ ₂ – множители Лагранжа.

Задача на условный экстремум (11) (12) с тремя переменными Р₁₂, Р₂₃, Р₁₃ сведена к определению безусловного (минимума) функции Лагранжа (13), которая зависит от пяти переменных: трех потоков мощности и двух множителей Лагранжа.

Минимум функции Лагранжа соответствует решению исходной задачи и определения равенства нулю пяти частных производных:

(14)

Для решения линейных алгебраических уравнений преобразуем ее правые три уравнения второго закона Кирхгофа, исключив из них множители Лагранжа:

т.е. (15)

Получили выражение аналогичное

что для простой замкнутой сети, только наше выражение с r вместо Z и при Q = 0. Далее решаем 4 и 5 уравнения системы (15)

, т.е (10)

Оба метода дают одинаковое решение.

Как правило решение задачи оптимизации находит в результате численного решения системы уравнений, соответствующей условию минимума функции Лагранжа.