Экономическое распределение нагрузки между параллельно работающими агрегатами.

Используя метод множителей Лагранжа можно получить условие наивыгоднейшего распределе­ния нагрузки между агрегатами эл.станции. В виде равенства отнош. первичного ресурса, т.е. приведенной мощности к приращению вторич­ного ресурса, т.е полезной мощности при соблю­дении балансового соотношения.

1. Распределение между агрегатами ТЭС.

агрегаты: турбины, котлы, блоки.

а. Прирост для i-ой турбины

б. Для котла

в.

где -относительный прирост расхода котла, т.е изменение расхода к изменению паросъема;

- относительный прирост расхода турбины, т.е отношение изменения расхода пара к измене­нию мощности турбины;

- отношение приращения топлива к изменению отдаваемой в сеть мощности;

Р_min=P_min1+P_min2-

Р_H> P₁+P₂ – загруж. блок 2

Р_H> P₁+P_max2- загруж. блок 1

2. Распределение нагрузки между агрегатами ТЭЦ.

- производственный расход топлива.

- относительный прирост расхода тепла при производстве эл. мощности_;

-относительный прирост расхода тепла при изменении величины теплофикационного отбора;

- относительный прирост расхода тепла при изменении производственного отбора.

3. Распределение нагрузки между агрегатами ГЭС.

4. Распределение в ЭЭС содержащей АЭС.

К- капитальные вложения в АЭС; И_Э- эксплуат. издержки; Р_а- норма отчислений на амортиз.; Т_мах- число часов, когда АЭС работает с установленной мощностью; И_Н, И_К- стоимость ядерного топлива загружаемого в реактор и выгружаемая из него, Т_К-прод-сть работы; Q_P-тепловая мощность реак­тора; -КПД.

Особенности:

1. Потери АЭС мало зависят от энергетич. на­грузки.

2. Увеличение Т_мах снижает себестоимость энергии.

Условие наивыгоднейшего распределения

В практических расчетах часто допускают не­зависимое распределение акт. и реакт. нагрузок между станциями ЭС.

Задача распределения реакт. нагрузки может быть решена методом множителей Лагранжа. В качестве критерия оптимальности выберем мини­мум потерь акт. мощности.

1. Уравнение цели ( потерь актив­ной мощности).

2. Уравнение связи , где i-номер источ­ника реакт. мощности.

3. Уравнение ограничения- балансовое уравне­ние реакт. нагрузок и источников реакт. мощности

4. Уравнение оптимизации

5. Функция Лагранжа

получим: , где Q_H- приращение ре­акт. мощности у потребителя при генерации ре­акт. мощности.

Оптимальным является такой режим, когда для всех источников реакт. мощности будет иметь ме­сто равенства потерь акт. мощности на единицу реакт. мощности у потребителя.

1 -9. Общая хар-ка задачи нелинейного программирования. Выбор направления и длины шага в задаче минимизации целевой функции. Рекуррентные выражения.

1 -10. Общая хар-ка задачи линейного программирования. Симплекс-метод.

Линейное программирование дает возможность нахождения оптимального решения при линейной ф-ции и наличия ограничений.

Пусть матем. модель записана в виде целевой ф-ции, в виде полинома Ц(х)=а₁х₁+ а₂х₂+… +а_nх_n, т.е мы должны найти х₁...x_n при котором обеспечива­лось бы экстремальное значение целевой ф-ции при наличии некоторых ограничений:

Симплекс-метод- метод лин-го программирова­ния используемый для задач оптимизации при на­личии лин-ой выпуклой целевой ф-ции и ограниче­ний в виде линейных неравенств.

Симплекс-метод состоит в отыскании наилуч­шего плана распределения ограничен. ресурсов, т.е задача заключается в отыскании оптимального плана составляющих экстремум целевой ф-ции.

В случае, если n-m=2 каждая из ограничений лин. ур. может быть быть представлена геометрически, а решение получено граф. путем выбора оптималь­ного решения, соответствующего одной из вершин в многоугольнике ограничений. При наличии более чем 2 оптимиз. переменных необходимо использо­вать алгебраич. методы решения задачи лин. про­грамм.- симплекс-метод.

Однозначное определение экстрем. точек воз­можно алг. путем, т.е приравнивая к нулю n-m=0 и решение системы из м уравнений, приводящих к базисным решениям. Базисные переменные- пере­менные, имеющие не нулевые значения.

Допустимые базисн. решения- решения, удовле­творяющие требованию неотрицательности правых частей уравнений.

Начальное решение соответствует началу коор­динат, затем осуществляется переход по границе пространства решений к смежной угловой точке для которой значение целевой ф-ции уменьшается по сравнению с прежним и т.д. вплоть до точки, где целевая ф-ция принимает минимальное значение.

Выполнение в ручную итерационного алгоритма симплекс-метода для большого числа переменных задача трудоемкая с большим числом шагов и по­этому задачи больших размерностей решаются с помощью ЭВМ.

Симплекс-метод:

1- табличный;

2- метод искусственного базиса;

3- модифицированный симплекс-метод.

Задача заключается в том, чтобы найти оптимальный план распределения ограниченных ресурсов, доставляющий экстренум целевой функции:

При наличии ограничений: |A||X|< |b|;

где j =1…m – число ограничений; i =1…n – число переменных;

Если разность n-m=2, тогда ограничения можно представить геометрически, а решения найти графически: путем выбора оптимального решения соответствующего одной из вершин многоугольника ограничений.

Если число оптимизируемых параметров больше 2, то применяются алгебраические методы, например, симплексный.

Z=Σ C _i X _i;

В первую очередь система уравнений приводится к канонической или стандартной форме:

1) ограничения-неравенства приводятся к форме равенств с неотрицательной правой частью.

2) все переменные должны иметь положительные значения.

Z – Σ C _j X _j =0;

Σ A _ij X _j +S _i =b _i;

где S _i – вспомогательные переменные, которые вводятся в ограничения для приведения их в форму равенств (если +, то ≤; а если –, то ≥)

Суть симплексного метода заключается в том, чтобы найти оптимальное решение соответствующее одной из экстремальных точек по определенному алгоритму, уменьшающему число шагов.

Переменные: базисные > 0, небазисные =0.

Алгоритм включает три этапа:

0) Матмодель приводится к канонической форме.

1) Из числа небазисных переменных выбирается включаемая переменная, увеличение которой доставляет наискорейшее возрастание ЦФ.

2) Из числа базисных переменных выбираются исключаемые переменные, которые быстрее других стремятся к нулю при переходе к смежной точке.

3) Определяется новое базисное решение.

Составляется симплексная таблица.

Включаемые небазисные переменные определяются по наибольшему отрицательному коэффициенту в Z строке.

Столбец включаемой переменной называется ведущим столбцом k.

Исключаемые переменные определяются по минимальному положительному отношению решения к соответствующему коэффициенту в ведущем столбце.

Переменная, находящаяся на пересечении ведущего столбца (k) и ведущей строки (r) называется ведущим элементом.

Определяем новое базисное решение методом Гаусса-Жордана:

Метод искусственного базиса.

Применяется при решении задач оптимизации в случае, когда система ограничений включает в себя как ограничения в форме равенств, так и неравенств, является модификацией табличного симплексного метода.

Решение осуществляется путем ввода искусственных переменных, знак которых зависит от типа оптимизации. Они вводятся с большим отрицательным коэффициентом при поиске максимума ЦФ, и с большим положительным при решении задач минимизации.

Решение, в котором отсутствуют искусственные переменные, считается оптимальным. Если такого решения достичь невозможно, т.е. нельзя удалить из базиса все искусственные переменные, то система ограничений исходной задачи считается несовместной, а задача неразрешимой.

Система ограничений:

Алгоритм:

1) Система уравнений приводится к канонической форме, т.е. по средством введения вспомогательных переменных ограничения в форме неравенств приводятся к форме равенств: X₁…X_n – оптимизируемые параметры, X_n+1…X_n+m – вспомогательные параметры.

2) Вводятся искусственные переменные X_n+m+1…X_n+2m+k, которые составляют начальный базис.

3) Составляем таблицу:

где

4) Из числа небазисных элементов выбираются включаемые в базис переменные по наибольшему отрицательному коэффициенту в Z строке:

min{Z _j } => j =k – ведущий столбец

5) По минимальному положительному отношению соответствующего элемента в столбце B к соответствующему элементу ведущем столбце определяются исключаемые из базиса искусственные переменные, а соответствующая ей строка i =r объявляется ведущей строкой:

min(B _i /a _{i k})> 0; i =r – ведущая строка, a_rk – ведущий элемент

6) Находится новое базисное решение:

столбец, соответствующий исключаемой из базиса искусственной переменной, исключается из таблицы.

7) В базисе вместо исключенной переменной записывается включаемая.

Вычисления продолжаются до тех пор, пока из базиса не будут исключены все искусственные переменные, что соответствует оптимальному решению.

Модифицированный симплекс-метод.

В основу данного метода положены такие основы линейной алгебры, кот-ые позволяют в ходе решения задачи работать только с частью матрицы ограничений.

|A||X|≤ |b|;

В процессе работы алгоритма происходит спонтанное обращение матриц ограничений по частям соотв. текущим базисным векторам. Особенности: 1) наличие двух таблиц (основной и вспомогательной); 2) порядок их заполнения; 3) специфичность расчета формул.

1-11. Учет ограничений в форме равенств при оптимизации режима ЭЭС. Метод Лагранжа. Учет ограничений в форме неравенств. Метод учета ограничений штрафными функциями.

Наиболее наглядным методом решения задачи при ограничениях в форме равенств явл-ся метод неопределенных множителей Лагранжа. Этот м-д позволяет отыскать условный экстремум непрерыв­ной функции, явл-щейся максимумом или миниму­мом при выполнении дополнительных условий в форме равенств (уравнений связи).

Метод множ. Лагранжа дает возможность найти такую систем уравнений, кот-й должен удовлетворять экстремум ф-и f(x₁, …., x_k) на множестве N, определяемом системой уравнений g_i(x) для i=1, 2, …, m.

Для того чтобы найти такую точку экс-ма, харак-щейся на множ-ве Nнеким вектором Х, необходимо найти m чисел λ _{1, ….,} λ _m, которые вместе с вектором Х удовлетворили бы следующей системе (m+n) уравнений с (m+n) неизвестными:

j=1, …, n; g_i(x)=0; i=1,.., m.

Эти уравнения получены как условия экст-ма ф-и Лагр. , где λ _{1, ….,} λ _m называются множителями Лагр.

Метод штрафных ф-ий нашел широкое применение для расчета допустимых режимов.

, где ω _к(х)-ур-ия устан-ся режимадля к-го узла.

Допустимый режим-это такой р-м, для которого параметры режима x_i y y_i, а также ф-ции от них φ _i(x, y) удовлетворяют техническим ограничениям.

Для допустимых режимов должны выполняться следующие условия:

ФОРМУЛЫ

Где φ _L-явная вектор-ф-ия от х, у компонентами которой могут быть, например потоки мощности, потери и т.д.

-нижние и верхние пределы для .

Все величины, которые должны быть в допустимых пределах наз-ся контролируемыми вел-ми (токи и потоки мощности).

Режим явл-ся допустимым если для всех j:

, где f_j –j-ая контрол-мая величина;

и -пределы значения контр-мой величины.

При использовании м-да штрафных ф-ций для расчета допустимых режимов, ф-ция дополняется штрафной ф-цией

и расчет допуст. Режима соотв-ет минимуму ф-ции при условии сущ-ния хотя бы одного допустимого режима -весомый коэф-т, -пределы значений контрол-мой величины, или .

В штрафную ф-ю Ш и , вводят только те контрол-мые величины, для которых не выполняются ограничения .

Это значит, что , если j ограничение нарушено и , если находится в допустимой области.

Если =0, то для всех и т.е. удовлетворяет УУР и все ограничения на контролируемые велечины.