Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теорема об LU-разложении матрицы




Рассматривается неоднородная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

 

, (5)

 

где - матрица системы, - вектор неизвестных и правой части соответственно, .

Теорема. Пусть все ведущие подматрицы , , матрицы являются невырожденными. Тогда единственным образом представима в виде:

 

, (10)

 

где - нижняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали, - верхняя треугольная матрица, диагональные элементы которой определяются по формуле:

 

. (15)

 

Представление (10) называется LU-разложением матрицы .

Доказательство. Доказательство проведем конструктивно, т.е. построим непосредственно разложение (10). Напомним, что главные подматрицы - это

 

.

 

Предположим, что разложение (10) уже построено, т.е. матрица представлена в виде:

 

Элементы матрицы известны, а элементы матриц необходимо найти. Построим систему уравнений относительно неизвестных элементов матриц , записывая уравнения для соответствующих элементов матрицы :

 

(20)

 

или, учитывая, что

 

 

систему (20) можно записать в виде:

 

. (22)

 

Записывая последовательно уравнения системы (20), получим:

для , учитывая, что этот элемент получается при умножении первой строки матрицы на первый столбец матрицы :

,

 

откуда сразу получаем значение для .

Элемент получается как результат умножения первой строки матрицы на второй столбец матрицы :

,

откуда .

Идя последовательно по элементам первой строки матрицы , получим, что

 

.

 

Переходим на вторую строку матрицы :

 

.

 

,

 

и т.д. Проводя вычисления, составляя уравнения для элементов матрицы в порядке

 

,

 

получим следующие формулы для вычисления неизвестных элементов матриц :

 

(25)

 

Ясно, что вычисления по формулам (25) можно вести только тогда, когда . Проверим выполнение этого условия. Из (22) следует, что

 

,

 

поэтому

. (30)

 

Поскольку нижняя и верхняя треугольные матрицы соответственно, то их определители равны произведению элементов, стоящих на главной диагонали, поэтому


,

 

и, как следует из (30)

.

 

По условию теоремы все , невырожденные, т.е.

 

,

 

кроме того ,

 

что и требовалось доказать.

 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.006 сек.)Пожаловаться на материал