Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Чувствительность собственных значений (сингулярных чисел) и собственных векторов (сингулярных векторов) к возмущающим воздействиям




 

Пусть исходная матрица претерпела возмущение , в результате которого получена матрица . Для СНЧ , матриц и соответственно имеет место соотношение:

 

, (8)

 

где ― спектральная матричная норма.

В силу соотношения (8) возмущения СНЧ сравнимы с возмущением данных ― , т.е. СНЧ матрицы являются нечувствительными к возмущающим воздействиям.

Для СЗ симметричной матрицы имеет место аналогичная оценка:

 

. (9)

 

В силу соотношения (9) возмущения СЗ, как и СНЧ в соответствии с (8), сравнимы с возмущением данных ― , СЗ симметричной матрицы являются нечувствительными к возмущающим воздействиям, или хорошо обусловленными.

Чувствительность СВ , отвечающего СЗ , в пределах матрицы определяется в соответствии с соотношениями

 

, (10)

 

, (11)

 

где — возмущение матрицы , , — нормированный возмущенный СВ,

— острый угол между и ,

 

(12)

 

— абсолютная отделенность СЗ матрицы .

Утверждение.Абсолютная отделенность СЗ матрицы является мерой чувствительности соответствующего СВ к возмущающим воздействиям.

Аналогично тому, как это было сделано в случае симметричной матрицы в соотношении (12), назовем отделенностью СНЧ матрицы величину

 

.

 

Пусть — возмущенная матрица, — угол между соответствующими исходным и возмущенным сингулярными векторами и , тогда имеют место соотношения, аналогичные (10), (11):

 

при условии ,

 

при условии .

 

Таким образом, реакция СВ (СНВ) матрицы на возмущающее воздействие будет разной, она будет зависеть от значения абсолютной отделенности (отделенности) соответствующего собственного значения (СНЧ): чем больше абсолютная отделенность (отделенность) СЗ (СНЧ), тем менее чувствительным к возмущающим воздействиям будет соответствующий СВ (СНВ).

 

 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.005 сек.)Пожаловаться на материал