Касательные, параллельные осям координат.

Пусть - гладкая кривая, заданная уравнением .

Зафиксируем точку и рассмотрим произвольную прямую , проходящую через эту точку. Пусть произвольная точка линии , – её расстояние до прямой .

Прямая называется касательной к линии в точке , если при стремлении к по линии отношение стремится нулю.

Имеет место

Т е о р е м а. Гладкая кривая имеет в каждой своей точке касательную, причем единственную.

При доказательстве этой теоремы расстояние можно найти как длину вектора и использовать при этом формулу Тэйлора.

Расстояние можно найти как высоту параллелограмма, построенного на векторе и направляющем орте прямой . Тоесть .

Тогда получим, что тогда и только тогда, когда , то есть направляющий орт касательной коллинеарен вектору . Таким образом, направляющим вектором касательной к гладкой кривой в точке является вектор .

а) горизонтальные:

(0)=(0; 0)

() =(; )

()=(; )

В этих точках горизонтальные касательные касаются графика функции (t).

б) вертикальные

В этих точках вертикальные касательные касаются графика функции (t).