Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Плоскі ферми






Фермою називають геометрично незмінну систему прямолінійних стрижнів, з’єднаних між собою шарнірами. Роз-глянемо тільки статично визначені ферми, для яких повинно виконуватись співвідношення , де – кількість стрижнів, – кількість вузлів (шарнірів). Статично невизначені ферми розраховують методами будівельної механіки.

При розрахунках ферм стрижні вважатимемо невагомими. Активні сили прикладатимемо до ферми лише у вузлах (шарнірах). Розрахунок фермиполягає у визначенні реакцій опор ферми і зусиль, що виникають у її стрижнях під дією зовнішніх сил. Відомими вважають конфігурацію ферми та її лінійні розміри.

Існують аналітичний (метод Ріттера), графічний (діаграма Максвелла-Кремони) та аналітично–графічний (метод вирізання вузлів) методи розрахунків плоских ферм. Якщо ферма має складну геометрію, то доцільніше використовувати графічні методи, але для цього насамперед потрібно вибрати зручні масштаби сил і довжин та графічно зобразити ферму з прикладеними до її вузлів відомими силами.

 

Приклад 5.1. Визначити опорні реакції і зусилля в стрижнях ферми, до якої прикладені сили (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Розв’язання. Насамперед перевіримо, чи є дана ферма статично визначеною. Кількість вузлів цієї ферми ; тоді кількість стрижнів повинна дорівнювати , що відповідає даній фермі (рис. 5.1). Спочатку визначимо опорні реакції ферми, що зручно зробити аналітичним методом.

До ферми прикладені дві активні сили та , реакція в’язі у точці (коток) та дві реакції у точці (нерухомий шарнір) () (рис. 5.2).

 

Рис. 5.2

Запишемо три рівняння рівноваги, бо маємо плоску систему сил:

(5.1)

(5.2)

(5.3)

З рівняння (5.1) маємо тобто сила спрямована протилежно осі . Рівняння (5.3) перепишемо у вигляді:

,

звідки

З рівняння (5.2)

.

Отже, опорні реакції мають величини:

Далі визначимо зусилля в стрижнях ферми за трьома способами.

 

1 спосіб. Графічно–аналітичний метод (метод вирізання вузлів)

Будемо послідовно розглядати рівновагу кожного вузла (шарніра) ферми окремо. Зауважимо, що вузли ферми – невільні матеріальні точки, на які можуть діяти прикладені до них відомі сили: активні , і пасивні (реакції в’язей) . В’язями для вузлів є стрижні, що з’єднуються в них. Наприклад, вузол обмежений двома в’язями-стрижнями 3 і 4 та перебуває під дією відомої опорної реакції ; вузол обмежений трьома в’язями-стрижнями 1, 2 і 7 та перебуває під дією відомої сили .

На підставі аксіоми про звільнення від в’язей ми можемо кожний з цих вузлів розглядати як вільну матеріальну точку, до якої прикладені відомі сили і реакції стрижнів. Причому ми завжди матимемо збіжну плоску систему сил, для якої можна записати лише два рівняння рівноваги.

Тому розгляд рівноваги вузлів ферми слід починати з того вузла, до якого прикладена хоча б одна відома сила (вузли ) та не більше двох невідомих реакцій стрижнів
(вузли ). Таким умовам відповідають у нашому прикладі лише вузли і .

Аналітичне розв’язання. Виріжемо вузол А. До нього прикладені чотири сили: – реакції нерухомого шарніра в
точці та – зусилля в стрижнях 1 і 6 відповідно (рис. 5.2).

Будемо послідовно записувати аналітично по два рівняння рівноваги для кожного вузла. Через те, що ми не знаємо розтягнутий у нас стрижень чи стиснутий, то спочатку вважатимемо що всі стрижні розтягнені. І якщо в результаті розв’язку цих рівнянь отримаємо знак “плюс”, то це означатиме, що стрижень розтягнутий, а якщо “мінус”, то навпаки – стиснутий. Зусилля в стрижнях 1 і 6 спрямуємо від вузла , тобто вважатимемо, що обидва стрижні розтягуються
(рис. 5.3, а). Матимемо збіжну плоску систему сил, а отже, два рівняння рівноваги:

           
     
 
 

 

 


а)

  б)   в)
  г)   д)
       

Рис. 5.3

Звідси отримаємо

Отже, стрижень 1 стиснутий, і його зусилля спрямоване до
вузла , а стрижень 6 розтягнений – зусилля спрямоване від вузла , як і припускалося (рис. 5.2).

Тому що зусилля в стрижнях 1 і 6 вже відомі, то виріжемо наступний вузол (можна ), до якого прикладені лише два невідомих зусилля в стрижнях 2 і 7, які спрямуємо від цього вузла (рис. 5.3, б). Тоді до вузла прикладені чотири сили: , де вектор сили спрямований протилежно вектору (рис. 5.2) і дорівнює йому за величиною, бо це внутрішнє зусилля в стрижні 1.

Матимемо збіжну плоску систему сил, а отже, два рівняння рівноваги:

Звідки отримаємо

.

Отже, стрижні 2 і 7 стиснуті і їх зусилля спрямовані до вузла (рис. 5.2). Наступним виріжемо вузол . До нього прикладені чотири сили: , (протилежно ) і (протилежно ), (рис. 5.2). Спрямувавши зусилля і від вузла (рис. 5.3, в), записуємо два рівняння рівноваги:

Звідки

;

.

Отже, стрижні 5 і 8 розтягуються (рис. 5.2).

Наступним вирізаємо вузол . До нього прикладені чотири сили: . Спрямувавши зусилля і від вузла (рис. 5.3, г), записуємо два рівняння рівноваги:

Звідки

.

.

Стрижень 4 розтягується, а 9 – стискається (рис. 5.2).

Останнім виріжемо вузол . До нього прикладені лише три сили: протилежно (рис. 5.2), і невідоме зусилля . Зусилля спрямуємо від вузла (рис. 5.3, д) і запишемо рівняння рівноваги в проекції на вісь , бо невідоме тільки :

Отже, стрижень 3 стиснутий (рис. 5.2).

 

Графічне розв’язання. Виріжемо вузол . До нього прикладені чотири сили: – реакції нерухомого шарніра в
точці та – зусилля в стрижнях 1 і 6 відповідно. Для
рівноваги збіжної системи сил необхідно і достатньо, щоб векторна сума всіх сил прикладених до вузла дорівнювала нулеві

,

тобто вектори цих сил повинні утворювати замкнений багатокутник (рис. 5.4, а). Побудову починаємо з відомої сили , потім

 
а) б) в)
г) д)
  Рис. 5.4  
         

 

переносимо в початок вектора паралельно самій собі одну із сил (наприклад ), а в кінець вектора – останню силу , тому що і спрямовані вздовж однієї прямої. Побудувавши багатокутник, стрілочки векторів розставляємо по колу так, щоб у жодній із вершин вони не з’єднувались, тобто трикутник був замкненим. Кути в отриманому трикутнику визначаємо з геометрії ферми (якщо це зробити важко, то силу будуємо в масштабі, а зусилля і визначаємо вимірюванням).

З силового трикутника знаходимо (рис. 5.4, а):

Напрямки зусиль (стрижень 1 стискається, тому що спрямоване до вузла (рис. 5.2)) і (стрижень 6 розтягується, бо спрямоване від вузла (рис. 5.2)) визначають у процесі побудови багатокутника.

Через те, що зусилля в стрижнях 1 і 6 вже відомі, то виріжемо наступний вузол (можна ), до якого прикладені лише два невідомих зусилля в стрижнях 2 і 7. До вузла прикладені чотири сили: , де вектор спрямований протилежно (рис. 5.4, а), бо це внутрішнє зусилля в стрижні, і дорівнює йому за величиною (рис. 5.4, б).

Через те, що сили і спрямовані вздовж однієї прямої, то їх можна замінити однією силою: . Аналогічно сили і , що теж діють уздовж однієї прямої, замінюємо однією силою: .

Тоді до вузла прикладені лише дві сили ( і ), лінії дії яких не співпадають. Тобто, щоб вузол знаходився в рівновазі за аксіомою про абсолютно тверде тіло, обидві сили повинні дорівнювати нулеві.З рис. 5.4, б маємо => ( спрямований назустріч , тобто до вузла – стрижень 7 стискається (рис. 5.2)); => ( спрямований назустріч , тобто до вузла, отже, стрижень 2 теж стискається (рис. 5.2)).

Величини цих зусиль:

;

Наступним виріжемо вузол . До нього прикладені чотири сили: , (протилежно (рис. 5.4, а)), (протилежно (рис. 5.4, б)), . Будуємо замкнений чотирикутник (рис. 5.4, в):

Побудову починаємо із відомого зусилля (або ), у кінець якого добудовуємо вектор зусилля . Далі в початок переносимо паралельно зусилля , а в кінець – вектор . Розставляємо стрілки по колу, а кути визначаємо з геометрії ферми. Згідно з рис. 5.4 записуємо:

Зусилля і спрямовані від вузла, отже, стрижні 5 і 8 розтягнуті (рис. 5.2).

Наступним виріжемо вузол . До нього прикладені чотири сили: . Сили і (протилежно на рис. 5.4, в) протилежні за напрямом і мають спільну лінію дії, тому їх можна замінити однією . Будуємо замкнутий векторний силовий трикутник (рис. 5.4, г). Вектор спрямовуємо в бік більшої сили . Починаємо побудову з вектора , бо він відомий. Вектори і добудовуємо до паралельно стрижням 4 і 9 відповідно. Стрілки розставляємо по колу. З побудованого трикутника отримаємо:

Зусилля спрямоване від вузла , тобто стрижень 4 розтягнутий, а – до вузла , тобто стрижень 9 стиснутий (рис. 5.2).

Останнім виріжемо вузол . До нього прикладені три сили: протилежно (рис. 5.4, г), і невідоме зусилля . Будуємо замкнутий векторний силовий трикутник (рис. 5.4, д). Кути визначаємо з геометрії ферми.

Маємо

Зусилля спрямоване до вузла . Отже, стрижень 3 стиснутий (рис. 5.2).

Зусилля в стрижнях 2, 3, 8, 9, що збігаються в шарнірі , вже визначені. Рівновагу вузла використовуємо для перевірки виконаних розрахунків:

Через те що внутрішні зусилля у всіх стрижнях ферми зрівноважені, то розрахунки виконані правильно і зведемо їх до таблиці.

Зовнішні (опорні реакції), кН Внутрішні (зусилля в стрижнях), кН
                 
      -2 -2 -1 +1, 41 +2 +4, 24 -4 +1, 41 -1

Знак “ ” вказує на те, що стрижень розтягнутий, а “ ”, що – стиснутий.

2 спосіб. Графічний (Діаграма Максвелла–Кремони)

За цим методом необхідно ввести позначення сил за допомогою полів. Полями повинні бути вибрані частини площини, що обмежені зовнішніми контурами ферми та лініями дії двох суміжних зовнішніх сил.

Частину площини, обмежену лініями дії реакцій опори : знизу та справа назвемо полем . Частину площини, обмежену зліва реакцією , знизу лінією , справа – лінією дії зовнішньої сили назвемо полем ‚. Частину площини, обмежену лінією дії сили (зліва), прямою (знизу) та лінією дії реакції (справа) вважатимемо полем ƒ. Частину площини, обмежену зліва лінією дії реакції , лінією , а знизу лінією дії сили вважатимемо полем „. Нарешті полем … вважатимемо частину площини, обмежену зверху лініями дії реакції , сили та контуром ферми – лінією . Вибравши поля  … …, ми отримали для кожної зовнішньої сили єдине позначення за допомогою двох полів, які ця сила відмежовує. Наприклад, сила позначатиметься , сила , і т. ін. (рис. 5.5).

 

 

Далі будуємо замкнутий силовий багатокутник зовнішніх сил за вже відомими опорними реакціями в’язей (рис. 5.6) у вибраному масштабі: від точки 1 відкладаємо вгору реакцію і отримуємо точку 2, від точки 2 відкладаємо силу вниз і отримуємо точку 3, від точки 3 відкладаємо силу вгору і отримуємо точку 4, яка поєднується з точкою 1. Далі від точки 4 вправо будуємо силу , отримуємо точку 5. В результаті повинні отримати останню зовнішню силу .

Таким чином, діаграма зовнішніх сил (заданих та реакцій в’язей) побудована (рис. 5.6).

 

Рис. 5.6 Приступимо до визначення зусиль у стрижнях ферми. Для позначення внутрішніх сил (зусиль у стрижнях), що діють вздовж стрижнів ферми, вказуємо додаткові поля †, ‡, ˆ і ‰ (рис. 5.5), за які візьмемо окремі трикутники ферми. Таким чином, ми ввели єдині позначення для всіх внутрішніх сил за допомогою полів (аналогічно, як ми це робили із зовнішніми силами). За законом Ньютона внутрішні сили входять попарно.

 

Наприклад, вздовж першого стрижня діють дві внутрішні сили – сили взаємодії між вузлами і . Сила, прикладена до вузла з боку вузла , позначається , а сила, прикладена до вузла з боку вузла .

Продовжимо побудову діаграми Максвелла–Кремони. До побудованої діаграми зовнішніх сил (рис. 5.6) добудовуємо діаграму внутрішніх сил: щоб отримати точку 6, від точки 2 відкладаємо пряму паралельну стрижню , – сила , а від точки 5 – пряму, паралельну стрижню , – сила . На перетині цих прямих отримуємо точку 6. Аналогічно будуємо точку 7: від точки 3 будуємо пряму, паралельну стрижню , – сила , а від точки 6 – пряму, паралельну стрижню , – сила . На перетині побудованих прямих отримуємо точку 7. Для знаходження точки 8 будуємо прямі: лінію дії сили паралельно стрижню і сили паралельно стрижню . При їх перетині отримуємо точку 8. І нарешті, точку 9 отримуємо при перетині прямої , що паралельна стрижню , і прямої , що паралельна стрижню .

Побудована діаграма (рис. 5.6) дає наочну картину роботи стрижнів ферми. З її допомогою легко проаналізувати інтенсивність і характер зусиль у стрижнях та відповідно до цього зробити висновок про найбільш навантажені ділянки ферми – це стрижні та , для яких необхідно забезпечити посилення їх міцності.

На діаграмі розтягнуті стрижні позначають знаком плюс “+”, а стиснуті – знаком мінус “–” (рис. 5.6).

Зауваження. При побудові діаграми може трапитися, що дві її вершини поєднуються. Це означає, що стрижень, який відповідає цьому позначенню, має нульове зусилля. Такі стрижні встановлюють у фермі лише з конструктивних міркувань. Відзначимо також, що нульові стрижні можна визначити без побудови діаграми. Такі стрижні трапляються у наступних трьох випадках:

1) коли до вузла, що з’єднує тільки два стрижні, які не знаходяться на одній прямій, не прикладені зовнішні сили (за аксіомою про абсолютно тверде тіло) (рис. 5.7, а).

2) коли на вузол, що з’єднує два стрижні ферми, які не розміщені на одній прямій, прикладена зовнішня сила в напрямі одного з цих стрижнів (рис. 5.7, б). У цьому випадку другий стрижень – нульовий, а зусилля у першому дорівнює зовнішній силі.

3) коли на вузол, що з’єднує три стрижні ферми, не діють ніякі зовнішні сили, причому два з трьох – розташовані на одній прямій (рис. 5.7, в). У цьому випадку (другий стрижень нульовий), а .

А
а) б) в)
  Рис. 5.7  

3 спосіб. Аналітичний – метод Ріттера (спосіб трьох моментів)

Цей метод дуже зручний, коли необхідно визначити внутрішнє зусилля в одному, двох або трьох строго визначених стрижнях, бо для цього не потрібно обходити всю ферму аналогічно попереднім методам.

Для реалізації метода Ріттера застосовують переріз ферми. При цьому необхідно пам’ятати, що кількість аналітичних умов рівноваги плоскої системи сил дорівнює 3, тому необхідно проводити переріз через три стрижні, які не виходять з одного вузла ферми. Оскільки зусилля в стрижнях ферми є внутрішніми силами, то, застосовуючи метод перерізів, ми переводимо їх у категорію зовнішніх.

 

 

Рис. 5.8

Проведемо переріз (рис. 5.2) через стрижні 2, 6 і 7. Далі розглянемо рівновагу правої частини ферми, бо до неї прикладені лише дві зовнішні сили: і , а до лівої – три (). Ліву частину ферми не враховуємо і вважаємо її в’яззю відносно правої, яка залишилась (рис. 5.8).

Замінюємо дію лівої частини реакціями, спрямованими по розрізаних стрижнях. Вважатимемо, що всі стрижні 2, 6, 7 розтягнуті, тому їх реакції направляємо від вузлів та .
Рівняння рівноваги за методом Ріттера виражаються у формі трьох рівнянь моментів відносно трьох точок Ріттера – точок перетину попарно двох стрижнів.

Для стрижня 2 точкою Ріттера є точка перетину стрижнів 6 і 7 – точка . Записуємо рівняння моментів відносно цієї точки:

Отже, стрижень 2 стиснутий.

Для стрижня 6 точкою Ріттера є точка перетину стрижнів 2 і 7 – точка . Тоді:

,

де

Отже, стрижень 6 розтягнутий. Для стрижня 7 точкою Ріттера є точка перетину стрижнів 2 і 6 – точка :

  Рис. 5.9 Отже, стрижень 7 стиснутий. Може трапитися, що два з трьох стрижнів паралельні між собою. Розглянемо цей випадок на перерізі (рис. 5.2). У переріз потрапили стрижні 3, 5 і 9. З аналогічних міркувань залишаємо праву частину ферми (рис. 5.9). У цьому випадку стрижень 3 має точку Ріттера – точку . Тоді перше рівняння рівноваги таке:

Стрижень 3 стиснутий. Стрижень 5 має точку Ріттера – точку , для якої

.

Стрижень 5 розтягнутий, а для стрижня 9 точка Ріттера нескінченно віддаляється, бо стрижні 3 і 5 – паралельні. Тоді для визначення зусиль у стрижні 9 складаємо рівняння проекцій сил на вісь , перпендикулярну до паралельних стрижнів 3 і 5.

Стрижень 9 стиснутий.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.