Решение типовой задачи межотраслевого баланса (МОБ)

3-х отраслевая экономическая система задана матрицей коэффициентов прямых затрат А и вектором конечной продукции Y:

На пересечении i -й строки и j -го столбца данной матрицы находятся значения величин коэффициентов прямых затрат ,

где x_ij – поток средств производства из i -й отрасли в j -ю (т.е. количество продукции i -й отрасли, израсходованной на производство продукции j -й отрасли);

x_j – валовой объем продукции j -й отрасли (все объемы выражены в стоимостных единицах).

Коэффициент затрат а_ij показывает, какое количество i -го продукта затрачивается на производство единицы j -го продукта.

Столбец Y – это конечная продукция отраслей, которая выходит из сферы производства (распределяется на фонды непроизводственного потребления и накопления – личного и общественного).

Найти:

1) коэффициенты полных затрат: В = (b_ij).

Коэффициент полных затрат b_ij показывает, каким должен быть валовой выпуск i -й отрасли x_i для того, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат обеспечить производство единицы конечного продукта j -й отрасли y_j.

2) плановые объемы валовой продукции: Х = (x_i) = (x ₁, x ₂, x ₃);

3) величину межотраслевых потоков средств производства, т.е. значения x_ij, i =1, 2, 3; j = 1, 2, 3;

4) объемы условно-чистой продукции

.

Объем условно-чистой продукции представляет собой сумму чистой продукции и амортизации. В свою очередь, объем чистой продукции представляет собой сумму оплаты труда и чистого дохода отраслей.

5) Составить таблицу МОБ, т.е. результаты расчетов оформить в виде таблицы МОБ:

Потребляющие отрасли (j)   Производящие отрасли (i)	I	II	III	конечный продукт yi	валовой продукт xi
I	x 11	x 12	x 13	y 1	x 1
II	x 21	x 22	x 23	y 2	x 2
III	x 31	x 32	x 33	y 3	x 3
условно-чистый продукт zj	z 1	z 2	z 3
валовой продукт xj	x 1	x 2	x 3

6) матрицу коэффициентов косвенных затрат С =(с_ij) = B - A - E.

Косвенные затраты относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства (или другие ингредиенты, входящие в данный продукт). Например, на изготовление трактора в виде прямых затрат расходуется чугун, сталь и т.д., но для производства стали также нужен чугун. Затраты этого чугуна являются косвенными.

Прямые затраты осуществляются непосредственно при производстве данного продукта. Они не отражают сложных взаимосвязей, в частности, обратных связей.

7) По заданному вектору увеличения выпуска конечной продукции

Δ Y =(Δ y ₁, Δ y ₂, Δ y ₃)=(20, 10, 5) определить изменение плана производства валовой продукции Δ X.

Результаты вычислений п.п. 1-4 представить в форме таблицы МОБ.

Решение

Для решения задачи используем уравнения МОБ

в развернутом виде:

в матричном виде: X = (E - A)^-1 · Y = B Y.

1) Находим матрицу полных затрат В = (E - A)^-1:

Обращаем матрицу E - A, т.е. найдем В = (E - A)^-1. Для этого:

Вычисляем определитель матрицы B:

Так как Δ ≠ 0, то существует матрица В = (E - A)^-1, обратная заданной матрице E - A.

Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы K = E - A:

Составляем матрицу из алгебраических дополнений:

Транспонируем эту матрицу (получим приведенную матрицу) и делим ее на определитель Δ =0, 511; в результате получаем обратную матрицу В = (E - A)^-1:

Рассмотрим другой способ нахождения обратной матрицы В = (E - A)^-1, присоединив к матрице E - A единичную матрицу и выполнив матричные преобразования:

Таким образом, матрица коэффициентов полных затрат

2) Находим объемы производства отраслей (валовая продукция):

Таким образом, плановые объемы валовой продукции трех отраслей, необходимые для обеспечения заданного уровня конечной продукции, равны:

х ₁=102, 197; х ₂=41, 047; х ₃=26, 383.

3) Рассчитываем значения межотраслевых потоков x_ij = a_ij · x_j:

x ₁₁=0, 3·102, 2=30, 7; x ₁₂=0, 25·41, 0=10, 2; x ₁₃=0, 2·26, 4=5, 3;

x ₂₁=0, 15·102, 2=15, 3; x ₂₂=0, 12·41, 0=4, 9; x ₂₃=0, 03·26, 4=0, 8;

x ₃₁=0, 1·102, 2=10, 2; x ₃₂=0, 05·41, 0=2, 1; x ₃₃=0, 08·26, 4=2, 1.

4) Результаты вычислений представим в форме МОБ. Величина условно-чистой продукции z_j определяется как разница между валовой продукцией отрасли x_j и суммой межотраслевых потоков в каждом столбце:

.

Потребляющие отрасли (j) Производящие отрасли (i)				Конечный продукт yi	Валовой продукт xi
	30, 7	10, 2	5, 3		102, 2
	15, 3	4, 9	0, 8		41, 0
	10, 2	2, 1	2, 1		26, 4
Условно-чистый продукт zj	46, 0	23, 8	18, 2
Валовой продукт xj	102, 2	41, 0	26, 4		169, 6

Необходимо проверить выполнение условия в виде равенства суммарного конечного продукта и суммарной условно-чистой продукции:

Таким образом, на основе заданных матриц по уровню конечного продукта Y и коэффициентов прямых затрат A получен сбалансированный план общего производства продукции и ее распределения в качестве средств производства между отраслями и в качестве продукции для конечного использования.

5) Найдем матрицу косвенных затрат по формуле: С = (с_ij) = B - A - E = =

6) Определяем изменение плана Δ X, которое потребуется при увеличении выпуска конечной продукции 1-й отрасли на 20 ед., 2-й – на 10 ед. и 3-й – на 5 ед.

Следовательно, потребуется увеличить выпуск валовой продукции 1-й отрасли на Δ x ₁=38, 1 ед., 2-й отрасли – на Δ x ₂=18, 2 ед., 3-й отрасли – на 10, 6 ед.