Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Приложения частных производных
2.1. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке .
Решение. Проверим, принадлежит ли точка М поверхности: следовательно, точка М принадлежит поверхности. Уравнение касательной плоскости имеет вид: Найдем значения частных производных в точке М: и подставим в уравнение касательной плоскости: или Уравнение нормали берем в виде: или или 2.2. Найти градиент и производную по направлению функции в точке Решение. Градиент функции равен: Найдем частные производные: и их значения в точке : . Тогда градиент в точке А равен: Производная функции z в направлении вектора вычисляется по формуле: Найдем направляющие косинусы вектора : Следовательно,
2.3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области D, заданной неравенствами: Решение. а) Найдем частные производные и приравняем их к нулю (необходимые условия экстремума): Стационарная точка лежит в замкнутой области, так как: Найдем вторые частные производные: и их значения в стационарной точке М (2; 2): Так как , то в точке М функция имеет экстремум, а именно минимум, так как
б) Построим замкнутую область ОАВ (рис. 1) Рис.1
Рассмотрим контур (прямая ОА). Имеем функцию одной переменной: Исследуем ее на экстремум: Из имеем или . И так как то имеем минимум и Далее рассмотрим контур или (прямая АВ). Имеем: Найдем и из имеем или . Так как то при имеем минимум и На контуре или (прямая ОВ) имеем или Находим производную приравниваем ее к нулю или , отсюда Так как , то в точке имеем минимум и Найдем значение функции z в точках О (0; 0), А (0; 6) и В (4; 2): Из найденных значений выбираем наименьшее и наибольшее. Получаем, что
|