Правило знаков для изгибающих моментов

Изгибающий момент в поперечном сечении считается положительным, когда он на левом торце правой части балки направлен по часовой стрелке, а на правом торце левой части балки направлен против часовой стрелки (рис. 5.5).

Рис. 5.5

Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз, и наоборот:

Рис. 5.6

Пример

Для балки (рис. 5.7) построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М_изг, если

внешний момент М=10 кН× м;

сосредоточенная сила P=2 кН;

распределенная нагрузка q=1 кН/м.

Линейные размеры приведены на схеме.

Решение

1. Расчет балки начинаем с определения реакций опор, для чего составляем уравнения равновесия для моментов относительно точек А и В.

Учитываем:

- если внешние нагрузки перпендикулярны оси балки, то продольная составляющая опорной реакции равна нулю. Поэтому для шарнирно-неподвижной опоры рассматриваем только вертикальную составляющую реакции;

- распределенную нагрузку q (на участке балки длиной l) заменяем эквивалентной сосредоточенной силой Q=q× l, приложенной к середине поверхности распределения.

; M – P× 1–q× 2× 3+R_B× 4=0;

; M – R_А× 4+P× 3+q× 2× 1=0.

Решаем уравнения равновесия:

4R_B= – M + P+6q Þ

4R_А= M + 3P+2q Þ .

Подставляем численные значения:

(кН);

(кН).

Знак минус означает, что реакция R_B направлена в сторону, противоположную выбранной на схеме нагружения балки.

После вычисления реакций опор обязательна проверка: сумма проекций всех сил на ось Oy должна быть равна нулю.

R_А – P–q× 2+ R_B× = 4, 5 – 2 – 1× 2+(– 0, 5)=0.

0 = 0 Þ R_А и R_B вычислены верно.

2. Рассчитаем поперечные силы и изгибающие моменты с помощью метода сечений.

Границы участков проводим через сечения, в которых приложены внешние нагрузки.

I участок. 0 £ z₁ £ 1.

Проводим произвольное сечение. Отбрасываем правую часть балки. Рассматриваем равновесие левой части, заменив действие отброшенной (правой) части внутренними усилиями Q^I и .

Условимся считать поперечную силу и изгибающий момент положительными, а значит, рассматривая оставленную левую часть балки, направляем Q^I и . следующим образом (в соответствии с правилами знаков):

Рассматривая оставленную правую часть балки (левая отброшена), с учётом правила знаков, направляем Q^I и . следующим образом:

Составляем уравнения равновесия (точка K – центр тяжести сечения):

. ; (кН);

. ; ;

.

Получили:

- Q^I на I-м участке – величина постоянная, не зависящая от z, следовательно, эпюра поперечной силы на этом участке – прямая, параллельная оси z;

- изгибающий момент на I-м участке является функцией от переменной z, причем зависимость линейная, следовательно, ее график – эпюра – прямая наклонная линия. Чтобы ее построить, вычислим значения в двух граничных точках участка:

(кН× м);

(кН× м).II участок. 0 £ z₂ £ 1.

Проводим произвольное сечение. Отбрасываем правую часть балки. Рассматриваем равновесие левой (оставленной) части, заменив действие отброшенной части внутренними усилиями Q^II и .

Составляем уравнения равновесия:

. ; ; (кН).

. ;

;

Получили:

- Q^II на II-м участке – величина постоянная, не зависящая от z, следовательно, эпюра поперечной силы на этом участке – прямая, параллельная оси z;

- изгибающий момент на II-м участке является линейной функцией от z, следовательно, его эпюра – прямая наклонная линия. Рассчитаем граничные значения для II-го участка (при z₂=0 и при z₂=1):

(кН× м);

(кН× м).

III участок. 0 £ z₃ £ 2.

Последний, третий участок рассмотрим справа налево. То есть после рассечения балки произвольным сечением мысленно отбросим ее левую часть и изучим равновесие правой ее части.

Этот прием служит своеобразной проверкой правильности вычислений: найденные численные значения Q^III и справа и слева от границы II и III участков должны совпасть.

Составляем уравнения равновесия правой части балки, заменив действие отброшенной части внутренними усилиями Q^III и :

. ; ;

Получили: эпюра Q^III на III-м участке – наклонная прямая. Построим ее по двум точкам, граничным для III-го участка (для z₃=0 и для z₃=2):

(кН);

(кН).

Для изгибающих моментов:

. ;

Получили: изгибающий момент на III-м участке является квадратичной функцией относительно z, следовательно, его эпюра – парабола. Рассчитаем граничные значения в граничных точках III-го участка и в его середине (чтобы узнать, как изогнута парабола).

При z₃=0 (кН× м);

при z₃=2 (кН× м);

при z₃=1 (кН× м);

Рис. 5.7

3. Строим эпюры.

Проанализируем характер эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:

1) у эпюры поперечной силы Q в сечениях, в которых приложены внешние силы, - скачки на величину силы;

2) распределенной нагрузке на эпюре поперечной силы Q соответствует наклонная прямая линия;

3) распределенной нагрузке на эпюре изгибающих моментов соответствует участок параболы.

Литература

1. В.И.Феодосьев. Сопротивление материалов, М., Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.

2. Степин П.А. Сопротивление материалов. Учебник для немашиностроит. спец. вузов. – 9-е изд. – М.: Интеграл-Пресс, 1997.

3. А.С.Таланов. Сборник задач по сопротивлению материалов, С-Пб, 1996.

4. Мовнин М.С., Израелит А.Б., Рубашкин А.Г. Основы технической механики. СПб Машиностроение, 1992 - 287 с.