Решение типовых задач.

Задача 2.1. Время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром λ =2.510^-5 1/час.

Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента p(t), q(t), f(t), m_t для t=1000час.

Решение. Используем формулы (2.6), (2.7), (2.8), (2.10) для p(t), q(t), f(t), m_t.

1. Вычислим вероятность безотказной работы:

.

Используя данные таблицы П.7.14 [ 1 ] получим

.

2. Вычислим вероятность отказа q(1000). Имеем

q(1000)=1-p(1000)=0.0247.

3. Вычислим частоту отказов

; 1/час.

4. Вычислим среднее время безотказной работы

час.

Задача 2. 2. Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с параметрами m_t =8000 час, σ _t =2000 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности p(t), f(t), λ (t), m_t для t=10000 час.

Решение. Воспользуемся формулами (2.11), (2.12), (2.13), (2.14) для p(t), f(t), λ (t), m_t.

1. Вычислим вероятность безотказной работы

p(t)=0.5Ф(U); U=(t-m_t)/_t;

U=(10000-8000)/2000=1; Ф(1)=0.3413;

p(10000)=0.5-0.3413=0.1587. 2. Определим частоту отказа f(t)

.

Введем обозначение

.

Тогда

f(t)=(U)/_t; U=(t-m_t)/_{t ;}

f(1000)=(1)/2000=0.242/2000=12.110^-5 1/час.

3. Рассчитаем интенсивность отказов λ (t)

λ (t)=f(t)/p(t);

λ (10000)=f(10000)/p(10000)=12.110^-5 /0.1587=76.410^-5 1/час.

4. Среднее время безотказной работы элемента

m_t = 8000 час.

Задача 2.3. Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t), f(t), (t), m_t для t=1000час, если параметр распределения _t=1000 час.

Решение. Воспользуемся формулами (2.23), (2.25), (2.27), (2.26) для p(t), f(t),

m_t, λ (t).

1. Вычислим вероятность безотказной работы p(t)

2. Определим частоту отказа f(t)

f(t)=tp(t)/_t² ;

f(1000)=10000.606/1000²=0.60610^-3 1/час.

3. Рассчитаем интенсивность отказов

λ (t)= t/_t ²;

λ (1000)=1000/1000² =10^-3 1/час.

4. Определим среднее время безотказной работы изделия

час.

Задача 2.4. Время безотказной работы изделия подчиняется закону Вейбулла с параметрами k=1.5; a=10^-4 1/час, а время работы изделия t=100 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t), f(t), λ (t), m_t.

Решение. 1. Определим вероятность безотказной работы p(t) по формуле (2.18). Имеем

p(t)=exp(-at^k); p(100)=exp(-10^-4 100^1.5); x=100^1.5;

lg x=1, 5lg 100=3; x=1000; p(100)=e^{-0, 1} =0, 9048.

2. Определим частоту отказов f(t)

f(t)=akt^k-1 p(t);

f(100)=10^-4 1, 5100^{0, 5} 0, 90481, 3510^-3 1/час.

3. Определим интенсивность отказов λ (t)

λ (t)=f(t)/p(t);

(100)=f(100)/p(100)=1, 3510^-3 /0.90481, 510^-3 1/час.

4. Определим среднее время безотказной работы изделия m_t

.

Так как zГ(z)=Г(z+1), то

;

x=10^{-2, 666}; lg x=-2, 666lg10=-2, 666= ; x=0, 00215.

Используя приложение П.7.18 [1], получим

m _t =0, 90167/0, 00215=426 час.

Задача 2.5. В результате анализа данных об отказах аппаратуры частота отказов получена в виде

.

Требуется определить количественные характеристики надежности: p(t), (t), m_t.

Решение. 1. Определим вероятность безотказной работы. На основании формулы (2.1) имеем

Вычислим сумму С₁+ С₂ Так как , то

.

Тогда

2. Найдем зависимость интенсивности отказов от времени по формуле

.

3. Определим среднее время безотказной работы аппаратуры. На основании формулы (2.5) будем иметь