Декартів добуток множин

Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується A ´ B) називається множина всіх пар (a, b), в яких перший компонент належить множині А (a Î A), а другий - множині B (b Î B).

Тобто A ´ B = {(a, b)| a Î A і b Î B }.

Декартів добуток природно узагальнюється на випадок довільної скінченної сукупності множин. Якщо A ₁, A ₂ ,..., A_n - множини, то їхнім декартовим добутком називається множина D = { (a ₁, a ₂ ,..., a_n) | a ₁Î A ₁, a ₂Î A ₂,..., a_n Î A_n }, яка складається з усіх наборів (a ₁, a ₂ ,..., a_n), у кожному з яких i-й член a_i, що називається i - ю координатою або i - м компонентом набору, належить множині A_i. Декартів добуток позначається через A ₁´ A ₂´ ... ´ A_n.

Набір (a ₁, a ₂ ,..., a_n), щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a ₁, a ₂ ,..., a_n, записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі (a ₁, a ₂ ,..., a_n) і (b ₁, b ₂ ,..., b_n) однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто a_i=b_i, i= 1, 2,..., n. Отже, кортежі (a, b, с) і (a, с, b) вважаються різними, у той час як множини { a, b, c } і { a, c, b } - рівні між собою.

Декартів добуток множини A на себе n разів, тобто множину A ´ A ´ ... ´ A називають n-м декартовим (або прямим ) степенем множини A і позначають Aⁿ. Прийнято вважати, що A ⁰ = Æ (n= 0 ) і A ¹ = A (n= 1 ).

Проекцією на i-у вісь (або i-ою проекцією) кортежу w= (a ₁, a ₂ ,..., a_n) називається i-а координата a_i кортежу w, позначається Pr _i (w) =a_i. Проекцією кортежу w= (a ₁, a ₂ ,..., a_n) на осі з номерами i ₁, i ₂ ,..., i_k називається кортеж (a_{i 1}, a_{i 2} ,..., a_ik), позначається Pr _{i 1, i 2 ,..., ik} (w). Нехай V - множина кортежів однакової довжини. Проекцією множини V на i-у вісь (позначається Pr _i (V) ) називається множина проекцій на i-у вісь усіх кортежів множини V: Pr _i (V) = { Pr _i (v) | v Î V }. Аналогічно означається проекція множини V на декілька осей: Pr _{i 1, i 2 ,..., ik} (V)={ Pr _{i 1, i 2 ,..., ik} (v) | v Î V }.

1. Для заданих множин A = {1, 2} і B = {2, 3, 4} визначити

(а) A ´ B; (г) (B \ A)´ A;

(б) B ´ A; (д) A ´ B ´ A;

(в) B ²; (е) A ´ (A È B).

2. Довести, що існують множини A, B і C такі, що

(а) A ´ B ¹ B ´ A; (б) (A ´ B)´ C ¹ A ´ (B ´ C).

Для яких множин виконуються рівності?

3. Для відрізків [ a; b ]і [ c; d ]дійсної прямої R дати геометричну інтерпретацію таких множин:

(а) [ a; b ]´ [ c; d ]; (г) R ²;

(б) [ a; b ]²; (д) R ³;

(в) [ a; b ]³; (е) Rⁿ.

7. Навести приклад множин A і B, для яких виконується строге включення (A ´ B)È (B ´ A)Ì (A È B)´ (A È B).

10. Позначимо через D = b (M)´ b (M)´ b (M), де M ={1, 2}. Виписати всі кортежі (A, B, C)Î D такі, що

(а) A Ç B Í C;

(б) A Ç B = C;

(в) (A Ç B)È C = M;

(г) A È B È C = M;

(д) (A È B)\ C =Æ;

(е) A Ç B ¹ B Ç C.

16. Визначити першу і другу проекції Pr₁ і Pr₂ для множин із прикладу 1 цього розділу.