Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Распределение Больцмана.
При рассмотрении распределения Максвелла полагалось, что внешние силовые поля отсутствуют. Рассмотрим случай, когда идеальный газ находится во внешнем силовом поле. Рассмотрим модельный вариант. Пусть дан сосуд. В нем находится газ, который разделен на две части – 1 и 2, между которыми действует силовое поле. Допустим, что в начальный момент времени число молекул было одинаковым в обеих половинках. Объемы тоже одинаковы. Следовательно, концентрации также равны. Однако, из-за действия силового поля количество молекул, переходящих из второй области в первую за единицу времени будет превышать число молекул, переходящих из первой области во вторую. В результате концентрация молекул в первой области будет возрастать, а во второй – убывать. В итоге число молекул, переходящих из области 2 в область 1 начнет снижаться, а обратный поток увеличится. Таким образом, через определенный промежуток времени потоки выровняются, и концентрация в областях перестанет изменяться. В конечном итоге в первой области будет концентрация , во второй области - . В таком равновесном состоянии система будет находиться как угодно долго. Нашей задачей является установить связь между этими установившимися концентрациями. Выделим в первой области молекулу со скоростью (ось направим вертикально вверх). Предполагается, что молекула находится недалеко от границы и через небольшой промежуток времени достигает её и переходит во вторую область. Выделим соответствующий объёмчик высотой . Будем считать, что он цилиндрический с основанием . Тогда . Число молекул попадающих в этот объем и имеющих проекции скорости обозначим через . Все они переходят во вторую область. Тогда , где – число молекул в этом объеме, . . Пусть - число молекул, переходящих из первой области во вторую за некоторый достаточно малый промежуток времени . Проводя аналогичные рассуждения для молекул, переходящих из второй области в первую можно записать, что . Так как система находится в состоянии равновесия, то . Значит, эти интегралы можно приравнять , . Обозначим потенциальную энергию, которую приобретает молекула при переходе из первой области во вторую через . Тогда можем записать, что (2). (Состояние равновесия не нарушится, если при переходе из первой области во вторую молекула превращается в молекулу , и наоборот). Возьмем дифференциалы от обеих частей выражения (2) , . Сравним наши интегралы. Если , то . Выразим из (2) . Тогда: , . Подставляя выражение для окончательно получим (3). Полученное соотношение (3) называется законом распределения Больцмана. В более общем смысле (3’), где -потенциальная энергия, которая соответствует области . Воспользуемся формулой . Выразим и подставим в (3’) , , / В виде следствия получили формулу, которая носит название барометрической.
|