Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Максвелловское распределение молекул по скоростям в идеальном газе.Стр 1 из 19Следующая ⇒
Статистическая физика. Лекция №1. Введение. Одним из основных понятий статистической физики является понятие «идеального газа». В рамках классической модели под идеальным газом будем понимать газ из мельчайших частиц – молекул, которые находятся в состоянии прямолинейного равномерного движения. В идеальном газе взаимодействие между молекулами на расстоянии отсутствует. Между молекулами возможны и происходят абсолютно упругие удары, при которых частицы обмениваются энергией (потерь энергии не происходит). В общем случае частицы находятся в состоянии хаотического движения, скорости частиц меняются непредсказуемым образом. Объектом рассмотрения будет являться идеальный газ, находящийся в замкнутом объеме, при этом температура окружающей среды полагается неизменной (система находится в термостате). В такой системе распределение частиц по скоростям остается неизменным, хотя скорости отдельно взятых молекул меняются. Нашей задачей является получение аналитического выражения этой зависимости.
Максвелловское распределение молекул по скоростям в идеальном газе. Введем декартово пространство скоростей. Выделим некоторый интервал скоростей . Какова вероятность того, что произвольно выбранная молекула будет иметь проекцию скорости, попадающую в этот интервал? Обозначим эту вероятность , введем функцию . Тогда вероятность будет зависеть от: . (*) Рассуждая аналогичным образом для других проекций: : ; : . Выделим на рисунке соответствующую область. Запишем выражение того события, сто произвольно выбранная молекула попадает в объем : . Учитывая, что значения проекций скоростей молекул друг от друга не зависят, то вероятность того, что значения проекций в некоторый момент времени попадают в указанные интервалы, можно записать: - согласно закону теории вероятности, как 3 независимых друг от друга события. . С другой стороны: . Предположим: . Тогда оба требования удовлетворяются: . Выражение через экспоненту противоречит смыслу выражения (*), т. к. с ростом скорости возрастает и вероятность , что в действительности не так. Установить данное противоречие можно, поставив знак «-»: . Тогда с возрастанием скорости вероятность будет уменьшаться. В математике известен - интеграл Пуассона. Проинтегрируем выражение (*): . Данный интеграл отражает вероятность того события, что значение у произвольно выбранной молекулы будет находиться в пределах . Очевидно, что вероятность этого события равна 1. поэтому разделим обе части этого равенства на правую часть: , . Аналогичные рассуждения справедливы для двух других проекций. ; ; ; . Где - функция распределения. Для выяснения вида параметра проведем следующие рассуждения: сделаем рисунок объема, в котором находится газ. Выделим некоторую молекулу, у которой проекция скорости , находящаяся недалеко от боковой грани . Предположим, что на своем пути молекула не испытывает соударений. Т. к. удар абсолютно упругий, то изменение импульса у частицы после удара будет . Из школьного курса (II закон Ньютона): , ; ; . Где - сила, с которой молекула действует на стенку, - время. ; . Моменту времени можно поставить в соответствие некоторое расстояние . Условно выделим на рисунке соответствующее расстояние и объем. В выделенном объеме кроме выбранной нами молекулы существует еще много других молекул, проекция скорости которых .
|