Методический материал

Практическое занятие 2-3

Функции многих переменных

Дифференциал. Частные производные высших порядков

Методический материал

1) Найти частные производные функции

.

Вычислить их значения в точке .

Решение. Считается постоянным, находим :

.

При нахождении фиксируется аргумент , т.е.

.

Значения производных в точке следующее:

; .

2) Найти значения частных производных в точке функции .

Решение. Находим частные производные, используя формулу дифференцирования сложной функции

;

.

Подставляя координаты точки , получим , .

14) Найти , если .

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, считая и постоянными, получим

.

3) Доказать, что функция удовлетворяет уравнению

.

Решение. Находим частные производные:

;

.

Подставляя и в данное уравнение:

, , 2=2;

полученное тождество показывает, что функция удовлетворяет данному уравнению.

4) Найти вторые частные производные функции .

Решение. Находим первые производные:

,

.

Дифференцируя каждую из полученных производных по и по , получим вторые частные производные:

,

,

.

Функция непрерывна в любой точки плоскости , кроме точки , и в каждой точки непрерывности выполняется равенство

..

5) Найти , если .

Решение. Дифференцируем данную функцию по и затем дважды по :

,

,

.

6) Найти полный дифференциал функции .

Решение. Находим частные производные:

; .

По формуле имеем

.

Полный дифференциал можно найти также и по другому, используя правила дифференцирования:

.

7) Найти , если .

Решение. Для данной функции

,

поэтому

.

8) Высота конуса Н=10см, радиус основания см. Как изменится объем конуса при увеличении высоты на 2мм и уменьшении радиуса основания на 2мм?

Решение. Объем конуса . Изменение объема приближенно заменим его дифференциалом

.

Подставив значения (в см) , , ; ,

получим

.

Таким образом, объем конуса уменьшится примерно на 15, 7 см .

9) Вычислить приближенно число .

Решение. Рассмотрим функцию . Данное число есть приращенное значение этой функции в точке при , .

Дифференциал данной функции

.

Его значение в точке при данных приращениях

,

поэтому

.