Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теорема 2.11. Признак перпендикулярности двух плоскостей




Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны ( ) (рис.28)

Рис.28

 

α – плоскость, в – перпендикулярная ей прямая, β – плоскость, проходящая через прямую в, и с – прямая, по которой пересекаются плоскости α и β.

Следствие. Если плоскость перпендикулярна к линии пересечения двух заданных плоскостей, то она перпендикулярна к каждой из этих плоскостей

Задача 1. Доказать, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.

Доказательство:

По аксиоме Iсуществует точка, не принадлежащая прямой а. По теореме 2.1через точку В и прямую а можно провести плоскость α. (рис.29) По теореме 2.3 через точку А в плоскости α можно провести прямую а. По аксиоме С1 существует точка С, не принадлежащая α. По теореме 15.1 через точку С и прямую аможно провести плоскость β. В плоскости β по теореме 2.3 через точку а можно провести прямую с а. Прямые в и с по построению имеют только одну общую точку А и обе перпендикулярны

 
 

Рис.29

Задача 2. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов , удаленных на расстояние3, 4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого – 3,9 м. Найдите длину перекладины.

АС = 5,8м, ВD = 3,9 м, АВ - ? (рис.30)


 

Рис.30

Решение:

АЕ = АС – СЕ = АС – ВD = 5,8 – 3,9 = 1,9 (м)

По теореме Пифагора из ∆ АЕВ получаем:

АВ2 = АЕ2 + ЕВ2 = АЕ2 + СD2 = (1,9)2 + (3,4)2 = 15,17 (м2)

АВ = = 3,9 (м)

 

Задачи

Цель. Учиться анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве, использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.


1. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

2. Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны. Найти отрезок СД, если:

1) АВ = 3см, ВС = 7см, АD= 1,5 см;

2) ВД = 9 см, АD= 5cм, ВС = 16см;

3) АВ = в, ВС = а, АD =d;

4) ВD = с, ВС = а, АD = d

3. Точка А находится на расстоянии a от вершин равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.

4. Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.

5. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, полагая, что проволока не провисает.



6. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найти проекции наклонных.

7. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 26 см больше другой. Проекции наклонных равны 12 см и 40 см. Найдите наклонные.


 

 
 


8. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если они относятся как 1:2 и проекции наклонных равны 1 см и 7 см.

9. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите

расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.

10. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояние от точек а и В до плоскости равны: 1) 3, 2 см и 5, 3 см ;7, 4 см и 6, 1 см; 3) a и в.

11. Решите предыдущую задачу при условии, что отрезок АВ пересекает плоскость.

12. Отрезок длиной 1 м пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на расстояние 0,5 м и 0, 3 м. Найдите длину проекции отрезка на плоскость..

13. Из точек А и В опущены перпендикуляры на плоскость. Найдите расстояние между точками А и В, если перпендикуляры равны 3 м и 2 м, расстояние между их основаниями равно 2,4 м, а отрезок АВ не пересекает плоскость.

14. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если:1) АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м; 2) АС = 3 м, ВD = 4 м, СD = 12 м; 3) АD = 4 м, ВС = 7 м, СD = 1 м; 4) АD = ВС = 5 м, СD = 1 м; 4) АС = а, ВD = в, СD = с; 5) АD = а, ВС = в, СD = с.



15.Из вершин А и В равностороннего треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А1В1, если АВ = 2 м, СА1 = 3 м, СВ1 = 7 м и отрезок А1В1 не пересекает плоскость треугольника

16. Из вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А1В1, если А1С = 4 м, АА1 = 3 м, СВ1 = 6 м, ВВ1 = 2 м и отрезок А1В1 не пересекает плоскость треугольника.

Ответы и указания к задачам

2. 1) 6,5 см; 2) 15 см; 3) (а2в2 + d2), 4) а2 – c2 +2d2. 3.а . 5. 9м..Указание к зад.6, 7, 8.Используйте алгебраический метод, ведите переменную х. 6. 6см, 15 см. 7. 15 см, 41 см.8.4 см, 8 см. 9. 9 см. 10. 1) 4, 25 см; 2) 6, 75 см; 3) 11. 1) 1, 05 см; 2) 0, 65 см; 3) 12. 0,6 м. 13 2,6м. 14. 1) 11 м; 2) 13м; 3) 8м; 4) 7м; 5) ; 6 ). 15. м. 16. 7м.



mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал