Примеры решения задач

Тема 2 ТЕОРИЯ БОРА ДЛЯ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМНЫХ СИСТЕМ

1 Спектральные серии в спектрах водородоподобных атомов, комбинационный принцип Ритца

2 Постулаты Бора, теория Бора для водородоподобных систем

3 Правила квантования эллиптических орбит Бора-Зоммерфельда

4 Преимущества и недостатки теории Бора

Основные понятия по теме

Водородоподобная атомная система состоит из положительно заряженного ядра с зарядом , где – порядковый номер химического элемента в Периодической системе, и одного электрона, движущегося относительно ядра в соответствии с теорией Бора по замкнутой траектории (орбите). Реальными водородоподобными атомными системами являются атом водорода ( =1), однократно ионизированный атом гелия ( =2), двукратно ионизированный атом лития ( =3) и т. д.

Результаты экспериментальных исследований спектров испускания водородоподобных систем были обобщены посредством формулы, по которой можно определить длину волны (или волновое число , или частоту ) любой спектральной линии анализируемых атомных систем:

. (2.1)

Выражение (2.1) называют обобщенной формулой Бальмера.

Здесь м^-1 – постоянная Ридберга, k = 1, 2, 3, …; n = (k + 1), (k + 2), ….

При k = 1, n = 2, 3, 4, … по формуле (1.1) можно рассчитать волновые числа спектральной серии Лаймана;

при k = 2, n = 3, 4, 5, … – волновые числа серии Бальмера;

при k = 3, n = 4, 5, 6, … – серии Пашена

при k = 4, n = 5, 6, 7, … – серии Брэкета;

при k = 5, n = 6, 7, 8, … – серии Пфунда и т.д.

Спектральная линия k -й серии, волновое число которой определяется в соответствии с формулой (1.1) при , называется границей k -й серии; а линия с волновым числом называется головной линией k -й серии.

Теоретическое обоснование сериальных закономерностей, наблюдаемых в спектрах водородоподобных систем, дано в теории Бора, которая базируется на законах классической механики и квантовых постулатах Бора, согласно которым:

1. Атомы и атомные системы могут длительное время, не излучая и не поглощая энергии, находиться в стационарных состояниях, которым соответствуют значения энергии E₁, E₂, …, E_n, …, образующие дискретный ряд.

2. Переходя из стационарного состояния с энергией E_n в состояние с энергией E_k, атом излучает или поглощает квант электромагнитного излучения, частота которого определяется правилом частот Бора

, (2.2)

где – постоянная Планка.

Бор в теории для водородоподобных систем рассматривал только круговые орбиты электрона, для которых им сформулировано условие квантования

, (n = 1, 2, 3, …), (2.3)

где – масса электрона, – его скорость, – радиус -й орбиты.

Смысл условия квантования круговых орбит состоит в том, что в атоме реализуются только такие круговые орбиты, при движении по которым электрон имеет момент количества движения, кратный приведенной постоянной Планка :

Второй закон Ньютона для электрона, движущегося по n –й круговой орбите, имеет вид:

. (2.4)

где , Ф/м – диэлектрическая постоянная.

Решив систему уравнений (2.3) и (2.4) относительно радиуса и скорости электрона и выразив полную энергию электрона n –й круговой орбите

, (2.5)

Бор получил формулу

. (2.6)

Воспользовавшись правилом частот (2.2) и связью , он выразил волновое число спектральной линии, обусловленной квантовым переходом атомной системы из n -го стационарного состояния в k- е:

. (2.7)

Как видим, эмпирическое выражение (2.1) для волнового числа спектральной линии и теоретическое (2.7) совпадают, если принять, что

. (2.8)

Расчетное значение постоянной Ридберга ( м^-1) хорошо согласуется с экспериментальным ( м^-1), что является основанием для вывода о правильности предложенной Бором модели. Некоторое отличие этих значений удалось объяснить, введя поправку в полученное решение, учитывающую в атоме наряду с движением электрона и движение ядра, масса которого . С формальной точки зрения это означает, что во всех соотношениях теории Бора необходимо заменить массу электрона приведенной массой системы, состоящей из ядра и электрона. При этом эмпирическое значение постоянной Ридберга и теоретическое значение ее связаны следующим образом:

. (2.9)

Зависимость постоянной Ридберга от массы ядра обусловливает смещение соответствующих спектральных линий, характерных для различных изотопов данного химического элемента, и называется изотопическим сдвигом.

На рисунке 2.1 приведена схема энергетических уровней и переходов между ними для водородоподобного атома, построенная в результате анализа формул (2.2) и (2.6).

Стационарное состояние с наименьшей энергией () называется основным, или нормальным, все остальные состояния (, 3, …) – возбужденные. При , согласно (2.6), E_n = 0. При E < 0 электрон связан с ядром и спектр значений его энергий дискретен (энергия квантована); при E > 0 электрон свободен и спектр значений его энергии непрерывен. Переход электрона в области дискретного спектра из одного энергетического состояния в другое, с большей энергией, есть возбуждение атома. При переходе электрона с одного из уровней дискретного спектра в область непрерывного спектра энергий атом превращается в несвязанную систему «положительный ион + электрон», то есть происходит его ионизация.

Минимальная энергия, необходимая для ионизации атома из -го состояния, соответствует переходу электрона с -го уровня на уровень и называется энергией ионизации E_i.

Вопросы для самоконтроля

1 Запишите обобщенную формулу Бальмера.

2 Что называется спектральной серией, головной линией и границей спектральной серии?

3 Сформулируйте постулаты Бора.

4 Изложите сущность теории Бора для водородоподобных систем.

5 Изобразите и поясните схему энергетических уровней атома водорода.

6 В чем состоит явление изотопического сдвига?

Задачи

1 Основываясь на модели атома, предложенной Бором, получите формулы для расчета радиуса -й орбиты и скорости движения электрона в водородоподобном атоме в этом состоянии. Вычислите радиусы первой и второй боровских орбит для электрона, движущегося в атоме водорода и ионах , . Сравните результаты.

2 Определите частоту вращения электрона по второй боровской орбите атома водорода.

3 Вычислите для атомарного водорода длины волн головных линий: а) серии Лаймана; б) серии Бальмера; в) серии Пашена.

4 Вычислите для однократно ионизированного атома гелия коротковолновые границы (нм): а) серии Бальмера; б) серии Пашена; в) серии Брэкета.

5 Определите: а) потенциал ионизации атома водорода; б) первый потенциал возбуждения атома водорода; в) энергию ионизации атома водорода из первого возбужденного состояния.

6 Какой серии принадлежит спектральная линия атомарного водорода, волновое число которой равно разности волновых чисел следующих двух линий: 486, 1 нм; 410, 2 нм? Какова длина волны этой линии?

7 Предполагая, что в опыте Франка и Герца вакуумная трубка наполнена не парами ртути, а разреженным атомарным водородом, определите, через какие интервалы ускоряющего потенциала возникнут максимумы на графике зависимости анодного тока от ускоряющего потенциала.

8 Вычислите минимальную разрешающую способность спектрального прибора, при которой в спектре атомарного водорода можно разрешить первые 20 линий серии Бальмера.

9 Вычислите отношение массы протона к массе электрона, если известно, что отношение постоянных Ридберга для тяжелого и легкого водорода , а отношение масс ядер .

10 Определите кинетическую, потенциальную и полную энергию электрона, движущегося по первой боровской орбите: а) в атоме водорода; б) в ионе ; в) в ионе . Сравните результаты.

11 Определите в электрон-вольтах (эВ) наибольшую и наименьшую энергии фотонов, которые излучаются при совершении атомами водорода переходов, соответствующих серии Лаймана.

12 Атомарный водород, возбужденный электромагнитным излучением определенной длины волны, при переходе в основное состояние испускает только три спектральные линии. Определите длины волн этих линий и укажите, каким сериям они принадлежат.

13 Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны 121, 5 нм. Определите радиус электронной орбиты возбужденного атома водорода.

14 У какого водородоподобного иона разность длин волн головных линий серии Бальмера и Лаймана равна 59, 3 нм?

15 Атом водорода, двигавшийся со скоростью 3, 26 Мм/с, испустил фотон, соответствующий переходу из первого возбужденного состояния в основное. Найдите угол между направлением вылета фотона и первоначальным направлением движения атома, если кинетическая энергия атома осталась прежней.

16 Определите изменение орбитального механического момента электрона, если он переходит из возбужденного состояния в основное с испусканием фотона с длиной волны λ = м.

17 В излучении звезды обнаружен водородоподобный спектр, длины волн которого в 9 раз меньше, чем у атомарного водорода. Определите элемент, которому соответствует данный спектр.

18 Вычислите энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на первый.

19 Определите частоту света, излучаемого возбужденным атомом водорода при переходе электрона на второй энергетический уровень, если радиус орбиты электрона изменился в 9 раз.

20 Определите, на сколько электрон-вольт изменяется кинетическая энергия электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона с длиной волны 486 нм.

21 Позитроний – атомоподобная система, состоящая из позитрона и электрона, вращающихся относительно их общего центра масс. Применяя теорию Бора, определите минимальные размеры такой системы.

Примеры решения задач

1 Пользуясь теорией Бора, выведите формулы для потенциальной, кинетической и полной энергии электрона, движущегося по -й орбите в водородоподобном атоме.

Дано: Z, n Найти: Un -? Tn -? En -?

Решение Потенциальная энергия электрона в водородоподобном атоме, порядковый номер которого в Периодической системе элементов Д. И. Менделеева равен Z, определяется электростатическим взаимодействием электрона и ядра, которые можно считать точечными зарядами: . (2.10)

Здесь – расстояние между электроном и ядром (радиус -ой круговой орбиты электрона).

Кинетическая энергия электрона определяется по формуле

, (2.11)

где – скорость электрона на - ой орбите.

Для того, чтобы определить радиус - й орбиты и скорость электрона , необходимо решить систему из уравнений (2.3), (2.4):

,

.

Получим:

, (2.12)

. (2.13)

Подставляя (2.12) в формулу (2.10), а (2.13) – в формулу (2.11), получим следующие выражения для потенциальной и кинетической энергии электрона, движущегося по -й орбите:

, (2.14)

. (2.15)

Суммируя (2.14) и (2.15), получим выражение для полной энергии электрона, находящегося в -м стационарном состоянии:

.

Ответы: , ,

.

Дано: Eф= 16, 5 эВ =26, 4·10-19 Дж n= 1	Решение Для того чтобы определить скорость выбитого из атома электрона, воспользуемся законом сохранения энергии для рассматриваемого явления. Получив энергию Eф, электрон, находящийся в невозбужденном состоянии (n= 1) атома водорода (), преодолеет притяжение с ядром, т.е. потратит энергию и, покинув атом, приобретет кинетическую энергию :
Найти: -?

2 Фотон с энергией 16, 5 эВ выбил электрон из невозбужденного атома водорода. Какую скорость будет иметь электрон вдали от ядра атома?

(2.16)

В соответствии с теорией Бора энергия водородоподобной системы в n- м стационарном состоянии определяется по формуле (2.6). При условиях , n= 1 она приобретает вид

.

Затратив энергию связи, электрон станет свободным, т.е. его энергия станет равной нулю. Следовательно,

. (2.17)

Подставляя (2.17) в формулу (2.16) и выражая затем скорость, получим:

.

В результате вычислений определим значение скорости электрона: 1, 01·10⁶ м/с.

Ответ: 1, 01·10⁶ м/с.

2 Атомарный водород возбуждают на n -й энергетический уровень. Определить длины волн испускаемых линий, если n = 4; каким сериям принадлежат эти линии?

Дано: n = 4	Решение Различные атомы водорода, находящиеся в зоне возбуждения и переведенные в возбужденное состояние с n = 4, могут вернуться в основное состояние (n = 1), совершая последовательность различных квантовых переходов.
Найти: -?

Воспользуемся схемой энергетических уровней, изображенной на рисунке 2.1, и укажем все возможные последовательности квантовых переходов, совершая которые атомы водорода могут перейти с возбужденного уровня (n = 4) на основной (n = 1):

а) 4→ 3; 3→ 2; 2→ 1;

б) 4→ 2; 2→ 1;

в) 4→ 3; 3→ 1;

г) 4→ 1.

Выпишем неповторяющиеся квантовые переходы:

4 → 3 (); 3 → 2 (); 2 → 1();

4 → 2 (); 3 → 1 (); 4 → 1. (). (2.18)

Выразим длины волн спектральных линий, соответствующих всем указанным квантовым переходам, пользуясь обобщенной формулой Бальмера (2.1) и связью между волновым числом и длиной волны излучения :

; ; .

(2.19)

Длины волн , , выразим, применяя комбинационный принцип Ритца:

; ;

. (2.20)

Вычислим значений длин волн , , , , по формулам (2.19), (2.20), учитывая значение постоянной Ридберга ( м^-1).

Получим: м.

Устанавливая соответствие спектральных линий различным квантовым переходам (2.18) определим, что спектральная линия с длиной волны м относится к серии Пашена; линии с длинами волн м и м – серии Бальмера; м, м и м – серии Лаймана.

Ответ: м (серия Пашена); м, м (серия Бальмера); м, м, м (серия Лаймана).