Растяжение и сжатие.

Во многих случаях собственный вес частей машин и сооружений весьма мал по сравнению с приложенными нагрузками. Поэтому в этих задачах не учитывают действие собственного веса, что упрощает расчет и дает очень малую ошибку результатов.

Рассмотрим призматический стержень (т.е. прямой стержень постоянного сечения F), закрепленный верхним концом в сечении А и нагруженный осевой силой на нижнем конце. Проведем произвольное сечение n, перпендикулярное к оси стержня и расположенное на расстоянии х от нижнего конца. Отбросим верхнюю часть стержня и рассмотрим равновесие оставшейся нижней части. По сечению будут действовать напряжения, заменяющие действие отброшенной верхней части на нижнюю. Возникает вопрос о том, по какому закону эти напряжения распределены по данному сечению. Произведя растяжение стержней с различной формой поперечного сечения, сплошных и трубчатых, и измеряя деформацию в различных точках разных поперечных сечений, можно практически убедиться в том, что в данном случае все элементы стержня деформируются одинаково. Поэтому можно сделать вывод, что напряжения по сечению распределены равномерно и что эти напряжения параллельны действующему усилию. Из уравнения равновесия для отсеченной части стержня находим продольную силу в сечении , т.е. продольная сила во всех сечениях данного стержня имеет постоянную величину. В силу гипотезы о равномерном распределении напряжений по сечению стержня можно написать

или (1)

Формула (1) применяется в теории растяжения или сжатия призматических стержней без учета собственного веса. Вычислив по этой формуле напряжения в поперечном сечении стержня, нужно оценить данное напряженное состояние с точки зрения его опасности или безопасности для нормальной эксплуатации машины или сооружения. Допустим что мы имеем возможность неограниченно увеличивать силу . В таком случае после достижения максимального значения Р_мах произойдет разрушение стержня. Отнеся силу Р_мах к начальной площади поперечного сечения стержня, получим так называемый предел прочности материала, или временное сопротивление разрыву

(2)

Пределом прочности материала или его временным сопротивлением разрыву называется условное напряжение, вычисляемое делением максимального растягивающего усилия на первоначальную площадь поперечного стержня при его разрыве.

Эта характеристика – одна из важнейших при оценке инженерных качеств того или иного материала. Ясно, что в нормально работающей длительное время детали, которая не должна ни разрушаться, ни сильно деформироваться под действием рабочих усилий, действующее напряжение должно быть меньше предела прочности материала. Длительный опыт эксплуатации различных машин и некоторые теоретические соображения показывают, что для нормальной работы детали действующее в ней напряжение не должно превышать части от предела прочности. Эта часть предела прочности получила название допускаемого напряжения и условно обозначается [ ]:

; к > 1 (3)

Правильный выбор величины к, которая в свою очередь получила название общего запаса прочности или общего коэффициента безопасности, представляет весьма ответственную и трудную задачу. Чтобы облегчить работу конструктора или эксплуатационника при изготовлении или эксплуатации многих машин, в специальных технических нормах установлены допускаемые напряжения. Тем самым ответственность за правильный выбор этой величины возлагается на ту научно-техническую организацию, которая утвердила указанные выше нормы.

Расчеты на прочность и жесткость

1. Если известно допускаемое напряжение , то можно оценить напряженное состояние рассчитываемой детали по формуле

(4)

Эта формула называется формулой проверки прочности.

2. Если ее решить относительно действующей силы , то получится второй вид этого уравнения, которое называется формулой проверки предельной (допускаемой) нагрузки

(5)

3. Наконец, если решить уравнение (4) относительно площади поперечного сечения F, то получится третий его вид, который может быть назван формулой определения необходимых размеров по условию прочности.

(6)

В сопротивлении материалов весьма распространен метод графической иллюстрации полученных решений. Так, например, для рассматриваемой задачи можно построить эпюры продольных сил и напряжений вдоль стержня. Эпюра продольных сил – это график, выявляющий зависимость действующей в поперечном сечении стержня продольной силы от положения сечения. Для данной задачи продольная сила определяется уравнением . В данной задаче и продольная сила и напряжение в поперечном сечении не зависят от координаты х. В других задачах этого может не быть Сечение с наибольшим напряжением называется опасным.

Если сечение стержня переменно или продольная сила в различных сечениях стержня имеет разные значения, то вместо формулы (1) надо написать

Это выражение применяется для расчета опасного сечения, т.е. сечения в котором напряжение получается наибольшим.

Опасное сечение определяется конкретными числовыми данными и может оказаться в изображенном на рисунке примере на втором или четвертом участке.

Рассмотрев вопрос о напряжениях, обратимся к изучению деформации при растяжении-сжатии. Если расчет по напряжениям называется расчетом на прочность, то расчет по деформациям – расчетом на жесткость. В основе этого изучения лежит установленный опытным путем закон Гука. В общем виде этот закон гласит: в определенных пределах деформации пропорциональны действующим усилиям. Применительно к случаю растяжения призматического стержня без учета собственного веса закон Гука выражается формулой:

(6)

т.е. абсолютное удлинение стержня прямо пропорционально действующей силе и длине стержня и обратно пропорционально площади поперечного сечения и коэффициенту Е, называемому модулем упругости первого рода, или модулем Юнга (модулем продольной упругости). Формулу (6) можно назвать формулой закона Гука в абсолютных единицах. Если использовать понятие относительного удлинения , то формулу (6) с учетом формулы (1) можно записать в виде

(7)

Относительное удлинение есть величина безразмерная. Поэтому модуль продольной упругости Е имеет размерность напряжения. Если решить формулу (7) относительно Е, то получим Отсюда вытекает одно из возможных определений модуля продольной упругости: модулем продольной упругости для данного материала называется отношение нормального напряжения к вызванному им относительному удлинению в пределах справедливости закона Гука. Этот коэффициент является весьма важной физической константой материала и для всех основных материалов дается в справочной литературе. Для большинства механических расчетов модуль продольной упругости: для стали Е=2*10⁵ н/мм²; для меди Е=1*10⁵н/мм²; для чугуна Е=1, 3*10⁵н/мм²; для алюминия Е=0, 7*10⁵н/мм²; для ковкого чугуна Е=1, 55*10⁵н/мм²; для латуни Е=1*10⁵н/мм².

Механические свойства материалов

Для расчета стержня на прочность и на жесткость надо знать некоторые свойства данного материала. Все физические характеристики, имеющие отношение к данному вопросу, называются механическими характеристиками материала. Основные – предельные напряжения, твердость, ударная вязкость. Механические характеристики материалов определяются с помощью их испытания. Рассмотрим испытания на разрыв стали. Для испытания необходимо иметь машину, в которой можно закрепить образец определенной формы и непрерывным и плавным повышением приложенной к нему нагрузки довести до разрушения. Под действием постепенно возрастающей нагрузки длина образца также непрерывно увеличивается. Современные испытательные машины автоматически записывают диаграмму зависимости абсолютного удлинения от растягивающей силы .

Недостатком этой диаграммы является ее очевидная зависимость не только от свойств материала, но и от размеров испытываемого образца. Поэтому диаграмму растяжения перестраивают в осях , где - условное напряжение , а - относительное удлинение . Новая диаграмма называется диаграммой условных напряжений при растяжении. Напряжения являются условными, так как сила делится на начальную площадь поперечного сечения, а не на действительную.

Изучение диаграммы условных напряжений дает много сведений о свойствах материала. В точке А напряжение носит название предела пропорциональности и обозначается

Пределом пропорциональности называется напряжение, при котором замечается отклонение от законов Гука.

В точке С проявляется новое свойство мягкой стали: замечается рост деформации при постоянной нагрузке, что приводит к образованию на диаграмме после точки С горизонтальной площадки.

Напряжение, при котором наблюдается внезапное увеличение деформации при постоянной нагрузке, называется физическим пределом текучести материала и обозначается

Рост деформации при постоянной нагрузке по достижению некоторой величины прекращается, и для дальнейшего увеличения деформации необходимо снова повысить нагрузку. Это явление получило название упрочнения. Точке D диаграммы соответствует наибольшей достигнутой за время испытания нагрузке.

В этот момент на образце начинает образовываться местное уточнение, называемое шейкой. Вся дальнейшая деформация происходит только в области шейки, площадь поперечного сечения быстро уменьшается, в связи с чем рост деформации происходит при уменьшающейся нагрузке. Условное напряжение, получаемое делением наибольшей достигнутой за время испытания силы на первоначальную площадь поперечного сечения, называется пределом прочности материала, или временным сопротивлением разрыву и обозначается или . В точке R происходит разрыв образца.

При нагрузке постепенно увеличивающимися ступенями с обязательной разгрузкой в конце каждой ступени при некотором напряжении, соответствующем точке В диаграммы будет замечено появление остаточных деформаций. Напряжение, при котором появляются остаточные деформации, называется пределом упругости и обозначается

Если в процессе нагружения образца было достигнуто напряжение, соответствующее точке К, а затем была произведена разгрузка, то в процессе разгрузки деформация изменяется по прямой КN. Следовательно, общая достигнутая к моменту начала разгрузки деформация , распадается на две: упругую, или исчезающую и пластическую, или остаточную : = +

Прямая KN показывает, что упругая часть общей деформации и за пределами упругости продолжает следовать закону Гука и может быть вычислена по формуле

Это явление носит название закона разгрузки или закона Герстнера. Если получивший пластическую деформацию разгруженный до нуля образец будет вновь нагружен, то линия повторного напряжения будет изображаться сначала прямой NK, а затем после точки К деформация снова будет следовать зависимости, изображенной кривой KDE. Если свойства материала оцениваются по данным повторного нагружения, то пределы пропорциональности упругости и условный предел текучести повышаются, пластичные свойства материала уменьшаются, твердость и хрупкость возрастают. Явление изменения механических свойств материала, вызванного остаточной деформацией его при обычной (комнатной) температуре, получило название наклепа или нагартовки. Наклеп может быть и полезным и вредным явлением в зависимости от условий работы детали.

Твердость материалов

Испытание образцов на растяжение и сжатие дает объективную оценку свойств материала. В производстве, однако, для оперативного контроля за качеством изготовляемых деталей этот метод испытания представляет в ряде случаев значительные неудобства. На практике прибегают к сравнительной оценке свойств материала при помощи пробы на твердость. Под твердостью понимается способность материала противодействовать механическому проникновению в него посторонних тел. Такое определение твердости, по существу повторяет определение свойства прочности. В материале при вдавливании в него острого предмета возникают местные пластические деформации, сопровождающиеся при дальнейшем увеличении сил местным разрушением. Поэтому показатель твердости связан с показателем прочности и пластичности и зависит от конкретных условий ведения испытания.

Наиболее широкое распространение получили пробы по Бринеллю и по Роквеллу. В первом случае в поверхность исследуемой детали вдавливается стальной шарик, во втором – алмазный наконечник. По обмеру полученного отпечатка судят о твердости материала. При помощи переводных таблиц приближенно по показателю твердости определяют предел прочности материала. Таким образом, в результате пробы на твердость удается определить прочностные показатели материала, не разрушая детали.

Одной из основных технологических операций позволяющих изменить в нужном направлении свойства материала, является термообработка. Например, закалка резко повышает прочностные характеристики стали и одновременно снижает ее пластические свойства. Для большинства широко применяемых в машиностроении материалов хорошо известны те режимы термообработки, которые обеспечивают получение необходимых механических характеристик материала.