Системы счисления

Системы счисления – принятый способ наименования и записи чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.

Все системы счисления можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные. В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от места, которое он занимает в числе. Самый известный пример – римская система счисления. В этой системе счисления используется 7 знаков

I (1) V (5) X (10) L (50) C (100) D(500) M(1000)

Например, III (три) LIX (59) DLV (555)

Для записи чисел в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков. Число таких знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления.

Некоторые системы счисления

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2+... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 +... + a_-m q^-m,

где a_i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Например:

692₍₁₀₎ = 6*10² + 9*10¹ + 2*10⁰

1101₍₂₎ = 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 13₍₁₀₎

112₍₃₎ = 1*3² + 1*3¹ + 2*3⁰ = 14₍₁₀₎

341, 5₍₈₎ = 3*8² + 4*8¹ + 1*8⁰ + 5*8^-1 = 225, 125₍₁₀₎

A1F, 4₍₁₆₎ = A*16² + 1*16¹ + F*16⁰ + 4*16^-1 = 2591, 06₍₁₀₎

Если в приведенных выше примерах произвести арифметические действия в правой части равенства, то получится число в десятичной системе счисления. Это и есть способ перевода из любой системы счисления в десятичную.