Застосування тригонометрії

При перетворенні виразів з метою їхнього спрощення іноді використовуються тригонометричні заміни. Такими можуть бути:

або при наявності в умові виразу ;

або , якщо в умові фігурують блоки або з перспективою виконати заміни відповідно або ;

, , якщо наявний вираз ;

при наявності виразу ;

, , , , якщо потрібно перетворювати вираз ;

при наявності виразів та .

Наведемо приклади задач, в яких використовуються подібні ідеї.

Задача 3.3.1. Числа задовольняють умови , . Довести, що .

Доведення. Оскільки , , то існують такі числа , що , . Отримуємо

.

Задача 3.3.2. Довести, що при і виконується нерівність

.

Доведення. Враховуючи те, що , можна ввести заміну . Тоді

Задача 3.3.3. Дійсні числа належать відрізку , причому сума кубів цих чисел дорівнює 0. Довести, що .

Доведення. Нехай . Маємо

.

Задача 3.3.4. Довести, що при довільних дійсних числах виконується нерівність

.

Доведення. Враховуючи довільність у виборі чисел , виконаємо заміни , , , . Тоді

.

Звідси випливає справедливість твердження, яке ми доводимо.

Задача 3.3.5. Для довільних дійсних чисел (крім випадку, коли та одночасно дорівнюють 0) довести нерівність

.

Доведення. Перейдемо до полярних координат, ввівши заміну , (). Дістаємо

.

Тепер оцінимо значення виразу . Маємо

, де .

Таким чином, вираз може змінюватися у межах від до , що доводить задану нерівність.

Задача 3.3.6. Довести, що із довільних 13 чисел завжди можна вибрати два числа та , для яких виконуватиметься нерівність .

Доведення. Позначимо через числа, про які іде мова в умові задачі. Нехай , де . Розіб’ємо проміжок на 12 рівних частин. Тоді знайдуться принаймні два кути та такі, що . Звідси . Нехай , . Тоді . Доведення рівності не викликає затруднень. Маємо .