Практическое занятия №1 по курсу «Надежность технических систем и техногенный риск».

Расчет вероятности безаварийной работы по узлам технологической схемы при последовательном и параллельном соединении аппаратов

Краткая теория

Рассмотрим объект, состоящий из реактора 1, теплообмен­ника 2 и циркулярного насоса 3 (рис. 1), который может быть пред­ставлен в случае независимости отказов элементов объекта в виде блок-схемы, изображенной на рис. 1, а [3]. Если в объекте дополни­тельно установить резервный насос 4, то будет иметь место блок-схе­ма, изображенная на рис. 1, б.

Если элементы взаимодействуют таким образом (как на блок-схе­мах рис. 1, а и 1, в), что переход в аварийное состояние любого из них приводит к аварийному отказу системы, то соединение элементов называют последовательным. Безаварийное состояние системы в этом случае может рассматриваться как случайное событие, равное пересе­чению (произведению) независимых событий — безаварийной работы каждого из элементов. Следовательно, функция безопасности S(t) си­стемы, согласно теореме умножения независимых событий, равна произведению функций безопасности элементов:

Рис. 1 Технический объект, структурные схемы и блок-схемы простейших систем при расчете технического риска

1 — реактор; 2 - теплообменник; 3— циркулярный насос; 4— резервный насос. Соединения элементов: а, в — последовательное; г — параллельное; б, д, е — смешанное

Здесь m — число элементов системы;

S₁ (t)... S_m(t) — функции безопасности каждого из элементов.

Если элементы системы одинаковы, т.е. S₁(t) = S₂(t) —... = S_m(t)=S₀(f), то вместо (4.17) имеем:

В случае экспоненциального закона вероятности безаварийной ра­боты элементов [S₀(t)=ехр(-l₀t)] легко получить выражения для функции безопасности S(f) и математического ожидания ресурса M[T], т.е. среднего ресурса Тс до перехода в аварийное состояние сис­темы:

Эти соотношения отражают известное положение о том, что если элементы взаимодействуют по схеме последовательного соединения, то показатели безопасной работы системы ниже соответствующих по­казателей любого из ее элементов. При этом с увеличением числа эле­ментов показатели системы быстро падают. Если число m велико, то практически невозможно создать систему, обладающую высокой безо­пасностью. Например, при m=10, при одинаковых показателях безо­пасности всех элементов S₀=0, 99 будем иметь значение вероятности безопасной работы системы менее 10^-4, а средний ресурс системы бу­дет в 10 раз меньше среднего ресурса отдельного элемента.

Один из способов повышения безопасности систем — метод резер­вирования, заключающийся во введении в систему дополнительных элементов или подсистем сверх количества, минимально необходимо­го для выполнения заданных функций (как это сделано с резервным насосом на рис. 1, б).

Блок-схема простейшего способа резервирования показана на рис. 1, г. Вместо одного элемента, достаточного для выполнения опреде­ленных функций, система состоит из n элементов. Предполагается, что аварийные отказы элементов — независимые события, а отказ си­стемы происходит лишь в том случае, если откажут все n элементов. Такое соединение называют параллельным. Вероятность перехода си­стемы в аварийное состояние равна произведению вероятностей отка­зов ее элементов. Следовательно, функция безопасности S(t) системы:

Если элементы системы одинаковы; т.е. S₁(f) = S₂(t) =... = S_n(f) = S₀(t), получаем:

Например, в случае экспоненциального закона вероятности без­аварийной работы элементов [S₀(t)=ехр(-l₀t)] средний ресурс систе­мы Тс может быть вычислен по формуле

При высказанных предположениях о независимости отказов эле­ментов (что, конечно, не всегда имеет место) безопасность системы с параллельным соединением элементов возрастает с увеличением крат­ности резервирования. Так, уже при однократном резервировании (т.е. дублировании) в случае, когда вероятность безаварийной работы элемента So = 0, 99, для системы получаем S= 0, 9999. Средний ресурс системы, согласно (4.22), возрастает в 1, 5 раза.

На рис. 1, д представлена блок-схема, в которой каждая подсисте­ма резервирована (n — 1) раз. Функция безопасности системы

На блок-схеме, изображенной на рис. 4.3, е, показан способ раз­дельного резервирования. На этой схеме каждый элемент резервирует­ся (n - 1) раз, после чего подсистемы соединяют последовательно. В этом случае

Блок-схемы рис. 1, в—е соответствуют случаям, когда все резерв­ные элементы находятся в рабочем состоянии. Наряду с этим можно строить схемы, в которых резервные элементы включаются в работу только в случае отказа очередного элемента или резервные элементы работают в облегченном дежурном режиме.

Расчет вероятности безаварийной работы по узлам технологической схемы при последовательном и параллельном соединении аппаратов

Расчет производится по формулам:

– для последовательного соединения:

,

– для параллельного соединения:

,

где m – число последовательно соединенных элементов;

n – число параллельно соединенных элементов;

S_k – вероятность безаварийной работы аппарата.

Задача 1

Рассчитать вероятность безаварийной работы узла №1 технологической схемы при последовательном и параллельном соединении аппаратов

Дано:

Вероятность безаварийной работы аппарата №1 равна 0, 79 (S₁= 0, 790);

Вероятность безаварийной работы аппарата №2 равна 0, 75 (S₁= 0, 750);

Вероятность безаварийной работы аппарата №3 равна 0, 66 (S₁= 0, 660);

Решение:

S_{общ 1} = 1 – (1 – 0, 79)² = 0, 956

S_{общ 2} = 1 – (1 – 0, 75)² = 0, 938

S_{общ 3} = 1 – (1 – 0, 66)⁴ = 0, 987

S_{общ 1} ║ S_{общ 2} = 1 – (1 – 0956) (1 – 0, 938) = 0, 997

(S_{общ 1} ║ S_{общ 2}) *S_{общ 3} = 0, 997 · 0, 987 = 0, 984

Ответ: вероятность безотказной работы узла 1 равна 0, 984.

Задача 2

Рассчитать вероятность безаварийной работы узла №2 технологической схемы при последовательном и параллельном соединении аппаратов

Дано:

Вероятность безаварийной работы аппарата №1 равна 0, 62 (S₁= 0, 620);

Вероятность безаварийной работы аппарата №2 равна 0, 84 (S₂= 0, 840);

Вероятность безаварийной работы аппарата №3 равна 0, 66 (S₃= 0, 660);

Решение:

S_{общ 1} = 1 – (1 – 0, 62)² = 0, 856

S_{общ 2} = 1 – (1 – 0, 84)² = 0, 974

S_{общ 3} = 1 – (1 – 0, 66)⁴ = 0, 987

S_{общ 1} * S_{общ 2} * S_{общ 3} = 0, 856 · 0, 974 · 0, 987 = 0, 823

Ответ: вероятность безотказной работы узла 2 равна 0, 823.

Задача 3

Рассчитать вероятность безаварийной работы узла №3 технологической схемы при последовательном и параллельном соединении аппаратов

Дано:

Вероятность безаварийной работы аппарата №1 равна 0, 62 (S₁= 0, 620);

Вероятность безаварийной работы аппарата №2 равна 0, 56 (S₂= 0, 560);

Вероятность безаварийной работы аппарата №3 равна 0, 52 (S₃= 0, 520);

Решение:

S_{общ 1} = 1 – (1 – 0, 62)³ = 0, 945

S_{общ 2} = 1 – (1 – 0, 56)³ = 0, 915

S_{общ 3} = 1 – (1 – 0, 52)⁴ = 0, 947

S_{общ 19} *S_{общ 15} *S_{общ 17} = 0, 945 · 0, 915 · 0, 947 = 0, 819

Ответ: вероятность безотказной работы узла 3 равна 0, 819.

Задача 4

Рассчитать вероятность безаварийной работы узла №4 технологической схемы при последовательном и параллельном соединении аппаратов

Дано:

Вероятность безаварийной работы аппарата №1 равна 0, 72 (S₁= 0, 720);

Вероятность безаварийной работы аппарата №2 равна 0, 98 (S₂= 0, 980);

Вероятность безаварийной работы аппарата №3 равна 0, 88 (S₃= 0, 880);

Решение

S_{общ 1} = 0, 72

S_{общ 2} = 1 – (1 – 0, 98)² = 0, 999

S_{общ 3} = 1 – (1 – 0, 88)² = 0, 985

S_{общ 1} *S_{общ 2} * S_{общ 3} = 0, 72 · 0, 999 · 0, 985 = 0, 708

Ответ: вероятность безотказной работы узла 4 равна 0, 708.

Вывод: параллельные соединения более надежные, чем последовательные, следовательно, для уменьшения риска появления аварии в технологические схемы производств необходимо включать