Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Численное дифференцирование




 

В инженерной практике довольно часто приходится встречаться с обыкновен­ными дифференциальными уравнениями при решении различных прикладных задач. Обыкно­венным дифференциальным уравнением называется выражение вида

F(X,Y,Y',Y”,...,Y n-1 ,Y n ) = 0 , (1)

где Х - независимая переменная;

Y - искомая функция от Х;

Y',Y»,...,Yn -производные порядка 1,2,...,n.

Порядок старшей производной, входящей в уравнение (1), называется порядком дифференциального уравнения.

Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением является уравнение 1-го порядка

y'= f(x,y) (2).

Основная задача, относящаяся к этому уравнению, есть задача Коши: найти реше­ние дифференциального уравнения (2) в виде у=у(х), удовлетворяющее начальному усло­вию Y(Xo)=Yo, т.е. требуется найти интегральную кривую у=у(х), проходящую через заданную точку М(Хо,Yo).

Для нахождения решения дифференциального уравнения (1) необ­ходимо задать та­кое количество начальных условий, какое соответствует порядку старшей производ­ной, а именно задать значения

Yo=Y(Xo); Yo'=Y'(Xo),...,Y0 n-1 = Yn-1 (Xo) (3)

Уравнение (1) называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид

Y(n) =f(X,Y,Y',Y»,...,Yn-1 ) (4)

Если дифференциальное уравнение (1) разрешимо относительно старшей произ­водной, то его можно свести к системе обыкновенных дифференциаль­ных уравнений 1-го порядка заменой на неизвестную функцию Р1(х), у» на Р2(х) и т.д.

Таким образом, имеем

y'=P1,

P1'=P2,

P2'=P3,

...

P'n-1 = f (x,y,P1,P2,...,Pn-1), причем

Y(Xo)=Yo

P1(Xo)=Yo'

P2(Xo)=Yo»

. . . . . . . . .

P n-1(Xo)=Yon-1 .

При решении инженерных задач чаще всего приходится иметь дело с уравне­ниями, общее решение которых не выражается в аналитическом виде. Поэтому возникает необходимость применять те или иные методы, дающие приближенное ре­шение задачи.

6.1 Метод Эйлера

 

Метод численного решения дифференциального уравнения 1-го по­рядка

y'=f(x,y) (7)

с начальным условием Y(Xo)=Yo основан на разложении решения в ряд Тейлора в h-окрестности точки Хо:

Y1 = Y(x+h) = Y(Xo) + h*Y'(Xo) + (h2/2)*Y»(Xo) +...

При отбрасывании всех членов ряда, содержащих производные 2-го и высших порядков, получим

Y1 = Yo + h*f(Xo,Yo),

где f(x,y) - правая часть уравнения (7). Пользуясь значением Y1 из разложения y(x) в h –окрестности точки Х1=Хо+h, получим

Y2=Y1+h*f(X1,Y1),

аналогично продолжая для следующей Х i+1 точки, получим

Y i+1 = Yi+h*f(Xi,Yi). (8)

Если дано уравнение 2-го порядка

Y»=f(x,y,y') (9)

c начальными условиями Y(Xo)=Yo и Y'(Xo)=Yo', то такое уравнение можно свести к системе двух уравнений 1-го порядка



у'=P (10)

P'=f(x,y,y'),

причем

Y(Xo)=Yo, (11)

P(Xo)=Po=Yo'.

Тогда приближенные значения функций у и Р в точке можно вы­числить

Yi+1 = Yi+h*Pi (12)

Pi+1 = Pi+h*f(Xi, Yi, Pi),

где f( Xi, Yi, Pi) - правая часть уравнения (9).

При достаточно малой величине шага h метод Эйлера дает реше­ние с большой

точностью, т.к. погрешность решения близка к h2.

Разновидностью рассмотренного выше метода Эйлера, известного в литературе также как метод Эйлера-Коши, является метод Эйлера-Коши с итерациями. Он заключается в вычислении на каждом шаге начального значения

Y0i+1=Yi+hF(xi ,Yi).

Затем с помощью итерационной формулы

Yкi+1=Yi + + [ F(xi, Yi) + F(xi+1, ]

решение уточняется. Итерации проводят до тех пор, пока совпадает заданное число цифр результата на двух последних шагах итераций. Погрешность метода составляет примерно h3. Обычно число итераций не должно превышать 3-4, иначе нужно уменьшить шаг h.

Модифицированный метод Эйлера второго порядкареализуется следующими рекуррентными формулами:

Yi+1 = Yi + hF(xi + h/2, Y*i+1/2 ),

где Y*i+1/2 = Yi + hF(xi , Yi)/2 . Метод дает погрешность порядка h3 и имеет меньшее время вычислений, поскольку вместо нескольких итераций производится вычисление только одного значения Y*i+1/2.

Метод трапеций – одна из модификаций метода Эйлера второго порядка. Он реализуется применением на каждом шаге формулы

Yi+1 = Yi + 0.5(K1+K2)

где K1 = h F(xi,Yi);

K2 = h F(xi+h,Yi+K1)

и дает погрешность порядка h3. Этот метод относится к общим методам Рунге-Кутта.


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2017 год. (0.006 сек.)Пожаловаться на материал