Манн-Уитнидің U- критерийі.

Критерий екі таң дама арасындағ ы айырмашылық ты қ андай-да бір сандық ө лшенген белгінің дең гейі бойынша бағ алау ү шін арналғ ан, жә не ең бастысы, Манна-Уитни критерийі таң дамаларды варианталарының таралуы қ алыпты болмағ ан жағ дайда бағ алауғ а мү мкіндік береді. Сонымен бірге ол кө лемдері аз таң дамалар немесе арасындағ ы айырмашылық ты айқ ындауғ а мү мкіндік береді.

Бұ л ә діс екі таң дама арасындағ ы мә ндердің қ аншалық ты ә лсіз қ иылысатын (беттесетінін) анық тайды.

Қ иылысатын мә ндер неғ ұ рлым аз болса, айырмашылық тың шынайлық ық тималдығ ы соғ урлым кө п.

U_{тә ж} неғ ұ рлым аз болса, айырмашылық тың бар болу ық тималдығ ы соғ ұ рлым кө п.

Нө лдік жорамал: 2-таң дамадағ ы белгінің дең гейі 1-таң дамадағ ы белгінің дең геінен тө мен емес.

U критерийімен бағ алау алдында жү ргізілейтін ү рдісті мең геріп алу қ ажет.

Ранжирлеу – вариациалық қ атардың ішіндегі варианталардың кіші шамалардан ү лкен шамаларғ а қ арай таралуы.

Ранжирлеу ережесі

1. Кіші мә нге кіші ранг есептеледі, ә детте, бұ л 1. Ү лкен мә нге ранжирленетін мә ндердің санына сайкес келетін ранг есептеледі (егер n=10 болса, онда ең ү лкен мә ннің рангы 10 болады).

2. Егер бірнеше мә ндер тең болса, онда алатын рангтерінің орта мә ні болып табылатын ранг есептеледі: .

3. Рангтердің жалпы қ осындысы формуласымен анық талатын есептеумен сә йкес келуі керек, мұ ндағ ы N – ранжирленетін мә ндердің жалпы саны. Рангтердің нақ ты жә не есептелген қ осындылары сә йкес келмуі, рангтерді есептегенде немесе оларды қ осқ анда қ ателіктің жіберілгенін кө рсетеді. Ол қ ателікті тауып, жою қ ажет.

Мысалы.

Келесі қ атарды ранжирлейік.

Мә ндер	Ранг
	2, 5           2, 5	11 санының рангі 1. Мә ні 12-ге тең варианта екі рет кездеседі, орта рангті табайық: мә ндері 12 болатын екі варианталардың рангтері сә йкес 2 жә не 3. Табамыз: . Мә ндері 12 болатын варианталарғ а 2, 5 рангын береміз. Мә ні 13-ке тең варианта реті бойынша келесі 4 рангін алады. Сол сияқ ты, 14 - 5, 15 - 6, 16 – 7 рангтеріне ие болады.

Формула бойынша ранжирлеудің дұ рыстығ ын тексерейік.

. Нақ ты рангтерді қ осайық: 1+2, 5+2, 5+4+5+6+7=28.

Есептелген жә не нақ ты қ осындылар сә йкес, демек рангтер дұ рыс қ ойылғ ан.

А) U Манн-Уитни критерийін есептеу схемасы:

1. Кесте қ ұ ру, оның бір бағ анында салыстырылатын топтың біреуі, ал екінші бағ анында – екіншісі болады.

2. Екі бағ андағ ыда варианталардың мә ндерін ранжирлеу.

(Ескерту: ранг бергенде ү лкен бір таң дамамен жұ мыс істегендей болу керек).

Барлық рангтердің саны екі бағ андағ ы варианталар санына тең болады .

3. Бірінші жә не екінші бағ андар ү шін бө лек рангтер қ осындысын есептеу. Рангтердің жалпы қ осындысы есептелген рангтер сә йкес келетіні, келмейтінгі тексеру.

4. Екі рангілік қ осындылардың ү лкенін анық тау.

5. U мә нін формула бойынша табу: .

Мұ ндағ ы - 1 таң дамадағ ы варианталар саны;

- 2 таң дамадағ ы варианталар саны;

- екі рангтік қ осындылардың ү лкені;

- рангілердің қ осындысы ү лкен топтағ ы варианталар саны.

6. Кесте бойынша U сыни нү ктелерін анық тау.

Егер , онда қ абылданады.

Егер , онда жоқ қ а шығ арылады.

3-мысал. Z заты топырақ қ а тү скен бойда, қ алалық су қ ұ бырларына жуылып кетеді. Тә жірибе жү зінде Z затының бұ ршақ ө сімдігінің дамуына ық пал ете ме, жоқ па екендігін тексерген. Бірінші таң дамадағ ы (бақ ылау тобы) (5 ө сімдік) таза, сү зілген суда ө сірілген, екінші таң дамадағ ы (тә жірибе тобы) (7 ө сімдік) Z заты қ осылғ ан суда ө сірілген.

Бақ ылау тобы	Тә жірибелік тобы
Бір тә уліктегі ө сім, мм	Ранг	Бір тә уліктегі ө сім, мм	Ранг

Н₀: Тә жірибелік топтағ ы тә уліктік ө сім бақ ылау тобындағ ы тә уліктік ө сімнен ү лкен емес, яғ ни Z заты бұ ршақ ө сімдігінің дамуына ық пал етпейді. (екі топтағ ы арасындағ ы статистикалық айырмашылық жоқ)

Н₁: – Тә жірибелік топтағ ы тә уліктік ө сім бақ ылау тобындағ ы тә уліктік ө сімнен ү лкен емес, яғ ни Z заты бұ ршақ ө сімдігінің дамуына ық пал етеді. (екі топтағ ы арасындағ ы статистикалық айырмашылық бар)

Шешуі:

Табамыз .

Сыни мә нмен салыстыру ү шін кіші шаманы аламыз U: .

Кесте бойынша сә йкес сыни мә ндерді анық таймыз: кіші деп алып жоғ ары жолдан іздейміз, ү лкен деп алып сол жақ тағ ы бағ аннан іздейміз.

.

Біздің жағ дайымызда , сонымен нө лдік жорамал қ абылданады жә не Z заты бұ ршақ ө сімдігінің дамуына ә сер етпейді.

Б) Тә уелді таң дамалар (жұ п байланысқ ан таң дамалар) ү шін Уилкоксон Т-критерийі қ олданылады. Дейінгі жә не кейінгі мә ндердің жұ п айырмашылық тары есептелінеді. Жұ п айырмашылық тар таң басы алынбай бір қ атарғ а ранжирленеді (ең кіші абсолютті айырма (таң ба қ арастырылмайды) бірінші ранг алады, бірдей мә ндерге бір ранг беріледі). Жеке тү рде оң (Т+) жә не теріс (Т-) айырмашылық тардың рангілерінің суммасын есептейді. Осындай екі сумманың таң басына қ арамай кішісін критерий статистикасы ретінде алады.

Егер берілген мә нділік дең гейінде есептелген Т мә ні критикалық мә ннен ү лкен болса (жұ п бақ ылаулар санын алып тасталғ ан нольдік айырмалар санын азайтады), онда нө лдік болжам қ абылданады, яғ ни «дейінгі» «кейінгіге» қ арағ анда ө згерген жоқ.

Осылайша, нольдік болжам дұ рыс болса, Т(+) жә не Т(-) статистикалары жуық тап алғ анда тең, T -статистикалардың салыстырмалы аз немесе кө п мә ндері айырмалар бары туралы нө лдік болжамды қ абылдамауғ а мә жбү рлейді.

4-мысал. Зерттеу жү ргізу нә тижесінде екі жұ птаса байланысқ ан топтарда (n₁=n₂=10) эффект кө сеткіші арасындағ ы жұ п айырмашылық тар қ атары есептелінді (мысалы, «дейін» жә не «кейін» есебі):

Жұ п айырмашылық тарды бір қ атарғ а ранжирлейміз. Таң басына қ арамастан келесі қ атарды аламыз:

Жеке тү рде оң Т(+) жә не теріс Т(-) айырмашылық тардың рангілерінің суммасын есептейміз:

Т(+) = 2+4+5+8+9+10=38, Т(-) = 1+3+6+7=17

Екі жақ ты Т-критерийін тексеру ү шін кіші статистиканы алып Т(-)=17, оны n=10 жұ п айырмашылық тар саны ү шін жә не мә нділік дең гейі 5% ү шін кестелік мә нмен салыстырамыз. Ондай кестелік критикалық мә н 9-ғ а тең. Есептелген Т-статистиканың минималды мә ні сә йкес кестелік мә нінен асып тү сті, яғ ни нө лдік болжам қ абылданады.