Примеры решения задач. Задача 8. Вычислить интеграл: .

Задача 8. Вычислить интеграл: .

Решение. Используя свойства определенного интеграла, представим данный интеграл в виде суммы интегралов, для нахождения первообразных применяем табличный интеграл (1), а далее по формуле Ньютона – Лейбница вычисляем приращение первообразной.

= + = = =

= .

Задача 9. Вычислить интеграл: .

Решение. Используем свойства определенного интеграла, табличные интегралы (1) и (4), формулу Ньютона – Лейбница. Получаем

= - = + =

= = .

Задача 10. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой y = x + 2.

Решение. 1. Изобразим данные линии на чертеже и заштрихуем фигуру, площадь которой нужно найти. Графиком функции является парабола. Найдем производную данной функции и, приравняв ее к нулю, определим критическую точку = 0. Отсюда х = 2. Это абсцисса вершины параболы. Ордината вершины .

Найдем точки пересечения параболы с осью О х, положив у = 0. Тогда или .

Рисунок 3 – Фигура, ограниченной параболой и прямой

Решив данное квадратное уравнение, получим х ₁ = –2 и х ₂ = 6. Строим параболу (рис. 3).

2. Графиком функции у = х + 2 является прямая, для ее построения достаточно двух точек. Положим х = 0, тогда у = 2. Положим х = 2, тогда у = 4. Строим прямую.

3. Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой , снизу - непрерывной кривой находится по формуле:

,

где a и b – абсциссы точек пересечения кривых.

Для нахождения точек пересечения данных линий, решим систему уравнений:

, или .

Решая полученное уравнение, получим х ₁ = -2 и х ₂ = 4, следовательно, а = -2; b = 4. Интеграл будет иметь вид

.

Вопросы для самопроверки.

1. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

2. Сформулируйте свойства определенного интеграла.

3. Как вычисляется площадь плоской фигуры в прямоугольной системе координат?