Глава 8. Методы численного интегрирования

(слайды 22-25 в презентации)

I. Методы приближенного вычисления определенного интеграла.

Определенный интеграл представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x), осью ОХ, и прямыми x=a, x=b (слайд 22 в презентации).

Для его приближенного вычисления используется следующий метод:

1. Отрезок интегрирования |a b| необходимо разбить на N частей, где
— длина интервала разбиения (шаг разбиения).

2. Заменить на каждом интервале исходную функцию на полином(многочлен), интеграл от которого легко вычисляется (интерполирующая функция)

3. Вычислить интеграл на каждом интервале от интерполирующей функции

4. Исходный интеграл равен сумме интегралов, вычисленных на каждом интервале

В зависимости от вида приближаемой (интерполирующей) функции p(x) получаются следующие методы:

1. Метод прямоугольников p(x)=const (слайд 23 в презентации), прямую проводим через середины интервалов. Значение интеграла на интервале тогда будет равно:

Ошибку метода можно оценить по формуле

где |b-a| длина отрезка интегрирования

n- количество интервалов разбиения.

- модуль производной второго порядка от подынтегральной функции

2. Метод трапеции p(x) =ax+b (слайд 24 в презентации), прямую проводим через концы интервалов
Значение интеграла на интервале тогда будет равно:)

Ошибку метода можно оценить по формуле

-(в два раза больше, чем у прямоугольников).

где |b-a| длина отрезка интегрирования

n- количество интервалов разбиения.

- модуль производной второго порядка от

подынтегральной функции

3. Метод парабол (Симпсона (слайд 25 в презентации)) т. к. парабола определяется тремя точками, то кроме граничных точек интервала и надо взять ещё одну —посередине
Значение интеграла на интервале тогда будет равно:

Ошибку метода можно оценить по формуле

где |b-a| длина отрезка интегрирования

n- количество интервалов разбиения.

- модуль производной четвертого порядка от

подынтегральной функции

Усовершенствованные методы.

Если вместо параболы использовать многочлены более высоких степеней, то получаются методы Ньютона — Кортеса.

Если местоположение и длина интервалов определяется путем анализа, сначала определяется количество интервалов, а затем в соответствии с требованием достижения наибольшей точности точки внутри интервалов через которые проходит приближающая функция, то получаются методы Гаусса. Стоит отметить, что наиболее оптимальным методом по соотношения простоты / точность является все же метод парабол(Симпсона).

4. Оценка погрешности по правилу Рунге.

При программировании вычисление определенного интеграла заканчивают по достижении заданной точности — EPSI.

Для оценки точности в этом случаи используют метод двойного пересчета, который заключается в следующем:

1. Вычисляется интеграл с разбиением на n интервалов

2. Увеличивают количество интервалов в два раза и получают новое приближение

Чтобы определить как новое вычисленное значение отличается от истинного значения применяют правило Рунге:

Для методов трапеции и прямоугольников

Для метода парабол.