Интегралы от разрывных функций

1) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на промежутке [ a; b ], а в точке x = b либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = b будем называть особой точкой функции f (x).

Определение 2. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [ a; b ] и обозначается символом . При этом говорят, что несобственный интеграл сходится и пишут равенство:

.

Если конечный предел не существует или он бесконечный, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

2) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на промежутке [ a; b ], а в точке x = a либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = a называют особой точкой функции f (x).

Определение 3. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [ a; b ] и обозначается символом:

.

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится и пишут равенство:

.

Если конечный предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Замечание. Если функция f (x) имеет разрыв в некоторой точке x = c внутри отрезка [ a; b ], то по определению полагают:

при условии, что оба предела в правой части существуют, и e и d не зависят друг от друга. Этот интеграл также называют несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [ a; b ] и обозначается символом:

.

Сходимость или расходимость такого интеграла зависит от существования или не существования конечного предела.

Пример 2. Исследовать на сходимость:

Так получили конечное число, то сходится и равен «-1».

Ответ:

Пример 3. Исследовать на сходимость:

Так как получили конечное число, то сходится и равен .

Ответ:

Пример 4. Исследовать на сходимость:

Так получили бесконечность, то расходится.

Ответ: расходится