Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Производные показательной и степенной функций






Теорема 7. Степенная функция y = x a(aÎ R) дифференцируема при любом x Î R и справедлива формула:

(x a)' = a × x a-1.

Доказательство. Прологарифмируем равенство y = x a, предполагая x > 0:

ln y = a× ln x

Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = x a неявно. Найдем производные от обеих частей равенства:

Выразим отсюда y ':

Подставим в полученное равенство y = x a:

Теорема доказана.

 

Теорема 8. Показательная функция y = ax (a > 0, a #1) дифференцируема при любом x Î R и справедлива формула:

(ax)' = ax × ln a

Доказательство. Прологарифмируем равенство y = ax:

ln y = x ln a.

Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = ax неявно. Найдем производные от обеих частей равенства:

Выразим отсюда y ': y ' = y × ln a.

Подставим в полученное равенство y = ax :

(ax)'= ax × ln a

Теорема доказана.

Замечание. В частном случае, при a = e полученная формула в теореме 8 принимает вид:

(ex)' = ex × ln e или (ex)' = ex.

Теорема 9. Если функции U (x) и V (x) дифференцируемы в точке x, то показательно-степенная функция y = (U (x)) V ( x ) дифференцируема в точке x и справедлива формула:

((U (x)) V (x))' = (U (x)) V (x) × V ' (x) ln U (x) + U ' (x) × V (x) × (U (x)) V (x)-1.

Доказательство можно выполнить с помощью логарифмирования равенства y =(U (x)) V ( x ) по основанию e и дальнейшего дифференцирования обеих частей полученного равенства.

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.