Указания по решению отдельных задач

Каждый вариант контрольной работы включает 4 задачи по наиболее важным разделам курса.

Ответ на 1 вопрос задачи № 1 предполагает изучение темы «Сводка и группировка» и проведение аналитической группировки, с целью выявления зависимости между признаками. В основу аналитической группировки следует положить факторный признак (объем произведенной продукции). Ширина равного интервала определяются по формуле:

,

где , – максимальное и минимальное значение признака,

– число групп.

Группировку можно провести, построив ранжированный (упорядоченный) ряд, либо с помощью следующей рабочей таблицы:

По каждой единице совокупности, отнесенной к той или иной группе, в соответствующей графе записывается значение признака, а в графе «Число единиц» ставится точка. После того, как все заводы будут разнесены по соответствующим группам, подсчитываются групповые итоги и итог всей совокупности.

По результатам рабочей таблицы строится итоговая групповая таблица.

Сравнивая направление изменения факторного признака и результативного можно выявить зависимость результативного признака от факторного.

Задание №2 задачи №1 составлено по теме «Статистическое изучение связи».

Для изучения взаимосвязи между признаками следует определить параметры линейного уравнения связи (уравнения регрессии).

,

где – значения результативного признака;

– значения факторного признака;

и – параметры уравнения регрессии, которые определяют путем решения системы нормальных уравнений:

Параметр имеет расчетное значение. Знак при коэффициенте – показывает направление зависимости. Если положительно – связь прямая, отрицательно – связь обратная. Численное значение показывает - на сколько единиц увеличивается значение результативного признака при изменении факторного на единицу.

Линейный коэффициент корреляции можно рассчитать по формуле:

,

где (для несгруппированных данных):

; ; ;

; ; ;

; ; .

Линейный коэффициент корреляции характеризует направление и тесноту связи. Если положителен – связь прямая, отрицателен – обратная. Чем ближе по модулю к единице, тем теснее связь, чем ближе к нулю – тем слабее.

Расчеты оформляют в виде таблицы

Для решения задач 11-20 следует изучить тему «Средние величины». Среднее значение признака в экономической практике определяется по формуле средней арифметической (простой и взвешенной) и средней гармонической (простой и взвешенной). Выбор конкретной формулы расчета среднего уровня зависит от характера исследуемого признака и имеющейся в задаче информации. Основой для выбора формы средней является экономическое содержание осредняемого показателя, понимание того, какое экономическое отношение представляет собой рассматриваемый осредняемый признак, что является исходной базой для расчета среднего значения данного признака.

Например, исходной базой для расчета средней заработной платы будет служить следующее соотношение:

.

Если фонд заработной платы обозначить через , число рабочих – , а среднюю заработную плату – , то

.

Допустим, что по условию задачи известна заработная плата по отдельным подразделениям и численность рабочих этих подразделений, то фонд заработной платы можно найти как произведение , тогда

.

Если по условию задачи известны по каждому подразделению заработная плата и фонд заработной платы , то численность рабочих находим путем деления фонда заработной платы на среднюю заработную плату, т.е.

,

тогда

.

Средняя величина признака из интервального ряда распределения определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

.

В качестве значений признака в каждой группе принимается середина интервала, равная полусумме значений нижней и верхней границы интервала. Ширина открытого интервала принимается равной ширине близлежащего интервала.

Для сокращения трудоемкости расчета средней величины используют «способ моментов», в основе которого лежат следующие свойства средней арифметической:

1) Если все значения признака уменьшить (увеличить) на одно и тоже число , то и средняя уменьшится (увеличится) на это же число .

2) Если все значения признака уменьшить (увеличить) в одно и тоже число раз, то средняя уменьшится (увеличится) в это же число раз.

Уменьшив все значения признака на величину (в качестве обычно берут значение , стоящее в середине вариационного ряда) и, разделив полученные результаты, на ( обычно равно ширине интервала), мы найдем условную среднюю:

,

где

.

Фактическая средняя определяется по формуле:

.

МОДА – это значение признака, наиболее часто встречающееся в совокупности.

Мода в дискретном ряду распределения – это значение признака, имеющее наибольшую частоту или частость. Мода в интервальном вариационном ряду определяется по формуле:

,

где – нижняя граница модального интервала (имеющего наибольшую частоту);

– ширина модального интервала;

– частота модального интервала;

– частота предмодального интервала;

– частота послемодального интервала.

МЕДИАНА – это значение признака у единицы, стоящей в середине ранжированного (упорядоченного) вариационного ряда. Медиана в дискретном ряду – это значение признака, накопленная частота которого содержит единицу, стоящую в середине ранжированного вариационного ряда.

Медиана интервальных вариационных рядов определяется по формуле:

,

где – нижняя граница медианного интервала (накопленная частота которого больше полусуммы всех частот ряда);

– ширина медианного интервала;

– сумма частот ряда;

– сумма частот интервалов, предшествующих медианному (накопленная частота);

– частота медианного интервала.

Решение задач №21-30 предполагает изучение тем «Показатели вариации» и «Выборочное наблюдение».

Показатели вариации.

Среднее линейное отклонение определяют по формуле:

,

где – абсолютное значение отклонения от средней величины в группе;

– частота группы.

ДИСПЕРСИЯ – один из показателей вариации (колеблемости) признака.

Это средний квадрат отклонений от средней величины.

.

Используя свойства дисперсии, можно расчет производить по способу моментов.

,

где ; .

Для удобства все расчеты оформляют в виде таблицы (таблица 1).

Таблица 1

Расчетная таблица

Группы единиц изучаемого явления	Число единиц,	Середина интервала,		,
Итого

Среднее квадратическое отклонение есть корень квадратный из дисперсии.

Коэффициент вариации – относительный показатель вариации, выраженный в процентах:

.

Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле:

,

где – доля единиц совокупности обладающих данным признаком;

– доля единиц совокупности не обладающих данным признаком.

Виды дисперсий и правило их сложения

Правило сложения дисперсий: Общая дисперсия равна сумме средней из групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии.

,

где – общая дисперсия, ;

- средняя из групповых дисперсий, ;

– групповая дисперсия, ;

где – среднее значение признака -ой группы;

– частота -ой группы;

– межгрупповая дисперсия, .

Выборочное наблюдение

Характеристики выборочной совокупности не совпадают с характеристиками генеральной совокупности.

,

где – средняя величина признака в генеральной совокупности;

– средняя величина признака в выборочной совокупности;

– предельная ошибка выборки.

,

где – коэффициент доверия, зависящий от вероятности.

При вероятности равной:

0, 683 коэффициент ,

0, 954 коэффициент ,

0, 997 коэффициент .

– средняя ошибка выборки для средней.

– для собственно-случайной повторной выборки.

– для собственно-случайной бесповторной и механической выборки,

где – численность выборочной (отобранной для обследования) совокупности.

– численность генеральной (всей изучаемой) совокупности.

Признак, которым каждая единица совокупности или обладает, или не обладает, называется альтернативным.

,

где – доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности;

– доля единиц, обладающих данным признаком в выборочной совокупности;

– предельная ошибка выборки для доли.

Средняя ошибка выборки при определении доли исчисляется по следующей формуле:

,

где – дисперсия альтернативного признака.

Относительная ошибка выборки:

- для средней ;

- для доли .

Задачи 31-40 составлены по теме «Ряды динамики».

Средний уровень интервального ряда динамики абсолютных величин определяется по формуле средней арифметической простой:

,

где – уровни ряда динамики;

– число уровней.

Средний уровень моментного ряда динамики рассчитывается:

а) по формуле средней арифметической взвешенной, если есть точные сведения о моменте изменения уровня ряда:

,

где – уровень -го периода;

– продолжительность -го периода;

б) если нет точных сведений о моменте изменения ряда, то используют формулу средней арифметической взвешенной из средних величин:

,

где – полусумма уровней на начало и конец -го периода;

в) если нет точных сведений о моменте изменения ряда, но равны между собой, то используется формула средней хронологической:

,

где – число уровней ряда динамики.

Уровень - уровень на конец периода.

Абсолютный прирост:

а) цепной	б) базисный

в) среднегодовой абсолютный прирост:

или ,

где - число .

Темп роста:

а) цепной или ;

б) базисный или .

Произведение цепных темпов роста равно соответствующему базисному темпу роста.

в) среднегодовой темп роста:

или ,

где – цепные темпы роста, выраженные в коэффициентах;

– число цепных темпов роста.

Темп прироста:

а) цепной или ;

б) базисный или .

.

или .

Абсолютное значение одного процента прироста равно 0, 01 доле предыдущего уровня:

.

Результаты расчета представить в таблице:

Показатели анализа ряда динамики

Аналитическое выравнивание по прямой предполагает нахождение параметров уравнения:

,

где – выравненные (теоретические) уровни ряда динамики;

– показатель времени;

и – параметры уравнения, которые определяются решением следующей системы нормальных уравнений.

где – фактические уровни ряда динамики;

– число уровней ряда;

– условное обозначение времени.

Если начало условного отсчета времени поместить в середину изучаемого периода, то будет равна 0.

При нечетном числе периодов (моментов) времени:

При четном числе периодов (моментов) времени:

Это значительно упрощает решение системы уравнений, т.к. при она примет следующий вид:

,

отсюда , .

Расчеты целесообразно выполнить в следующей таблице:

Годы	Эмпирический ряд,	Условные обозначения дат,			Выравненный ряд динамики,

Правильность расчета выравненных уровней доказывает равенство:

.

Используя определенное таким образом уравнение общей тенденции (тренда) развития, можно дать прогноз на будущее (экстраполяция) придав соответствующее значение для года, на который дается прогноз.

Решение задачи 41-50 предполагает изучение темы «Индексный анализ».

В теории и практике статистики разработана символика и применяются следующие условные обозначения:

– индивидуальные индексы;

– общие индексы;

– объем продукции, товаров и т.д.;

– цена;

или – себестоимость;

или – заработная плата;

– общие затраты труда;

– выработка;

– трудоемкость.

Значениям базисного периода придается знак «0», отчетного – «1».

Индивидуальные индексы исчисляются по формулам:

; ; .

При построении агрегатных формул общих индексов следует учитывать правило: если индексируемая величина – качественный показатель, то веса берут на уровне отчетного периода; если индексируемая величина – количественный показатель, то веса берут на уровне базисного периода.

В индексе стоимости продукции в качестве индексируемой величины выступает стоимость продукции, равная произведению цены на количество продукции .

Поэтому:

, , .

Индексы, как относительные величины характеризуют изменение явления в коэффициентах или процентах.

Абсолютное выражение изменения стоимости продукции можно определить, как разницу между числителем и знаменателем индекса стоимости продукции:

.

Данная система индексов позволяет разложить изменение общей величины по факторам. Поскольку стоимость продукции есть результат действия двух факторов (цены и объема производства), то изменение каждого из них влечет за собой изменение и стоимости продукции. Изменение стоимости за счет изменения цены определим как разницу между числителем и знаменателем индекса цен:

,

а за счет изменения объема продукции – как разницу между числителем и знаменателем индекса физического объема продукции:

.

При этом .

Между индексами существует та же взаимосвязь, что и между явлениями. Поскольку стоимость продукции есть произведение цен и объема продукции, то и индекс стоимости продукции равен произведению индекса цен и индекса физического объема продукции.

.

Так же взаимосвязаны и индексы затрат на производство, себестоимости и физического объема продукции:

, , ,

.

Расчет индексов по агрегатным формулам возможен, если есть полные данные как об индексируемой величине, так и о весах на отчетном и базисном уровне. Если таких данных нет, то приходится исчислять индексы как среднюю взвешенную величину из индивидуальных индексов.

Используются формулы среднеарифметического и среднегармонического индексов:

, .

При выборе формы средней следует иметь ввиду, что агрегатный индекс – основная форма всякого индекса и средний из индивидуальных будет тогда правильным, когда он тождествен агрегатному.

При индексном анализе динамики средних уровней качественного показателя исчисляют индексы переменного и постоянного состава.

Индекс переменного состава характеризует изменение средней величины качественного показателя по всей совокупности:

.

Индекс постоянного состава характеризует изменение величины качественного показателя в среднем по отдельным объектам совокупности:

.

Как видно из формулы, на величину индекса переменного состава оказывает влияние изменение самих цен и изменение состава (структуры) продукции. Для выявления влияния на изменение средней величины изменения структуры продукции исчисляют индекс влияния структурных сдвигов.

.

.

Индивидуальные индексы производительности труда могут быть рассчитаны по формулам:

или ,

где – выработка продукции в единицу времени;

– затраты труда на единицу продукции.

Общие индексы производительности труда постоянного состава рассчитывают по формулам:

а) , где – затраты труда на весь объем продукции.

б) , где – объем продукции.

Индексы производительности труда переменного состава:

а) .

Это натуральный индекс, он может быть использован при одноименной продукции.

б) Если продукция разноименная, используют стоимостной индекс производительности труда:

,

где – цена единицы продукции.

Общий индекс производительности труда можно рассчитать как средний арифметический из индивидуальных индексов (индекс С.Г. Струмилина):

.