Примеры вычисления преобразований Лапласа.

В способах вычисления изображений есть много общего с тем, что уже изучалось применительно к преобразованию Фурье. Рассмотрим наиболее характерные случаи.

Пример 2.4, Изображение обобщенного экспоненциального импульса.

Пусть , где — фиксированное комплексное число. Наличие -функции обусловливает равенство при Воспользовавшись формулой (2.54), имеем

Если то числитель обратится в нуль при подстановке верхнего предела. В результате получаем соответствие

Как частный случай формулы (2.56), можно найти изображение вещественного экспоненциального видеоимпульса:

и комплексного экспоненциального сигнала:

Наконец, положив в (2.57) , находим изображение функции Хевисайда:

Пример 2.5. Изображение дельта-функции.

Если рассматриваемый импульс возникает в момент времени , то интеграл

Итак,

Это изображение определено во всех точках комплексной плоскости и нигде не имеет особенностей, кроме бесконечно удаленной точки.

Некоторую сложность может представлять вычисление изображения дельта-импульса, сосредоточенного при t = 0, поскольку неясно, как надо учитывать вклад от обобщенной функции, сосредоточенной на одном из концов области интегрирования. Дело в том, что в гл. 1 дельта-функция определялась как предел последовательности импульсов, симметричных относительно точки t = 0. Если поступать формально, то в пределах области интегрирования окажется лишь половина такого импульса, что приведет к двукратному уменьшению интеграла. Для того чтобы этого не произошло, изображение функции определяется как предел

не зависящий от параметра . При таком подходе функция всегда целиком принадлежит области интегрирования, поэтому