Нахождение экстремумов функции

Литература

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высш. шк., 2009

2. П.Т.Апанасов, М.И.Орлов. Сборник задач по математике. – М.: Высш. шк., 2009

Методические указания

Исследование функций с помощью производной. Нахождение промежутков монотонности

Теорема1. Если функция f(x) определена и непрерывна на промежутке (а; b) и f ‘(x) всюду положительна (f ‘(x)> 0), тогда функция возрастает на промежутке (а; b).

Теорема2. Если функция f(x) определена и непрерывна на промежутке (а; b) и f ‘(x) всюду отрицательна (f ‘(x)< 0), тогда функция убывает на промежутке (а; b).

Пример1. Исследовать на монотонность у= .

Решение: у’=2х-1

2х-1=0

х=0, 5

Числовая ось разбита на два интервала

Значит, функция убывает в промежутке (-∞; 5) и функция возрастает в промежутке (5; ∞).

Нахождение экстремумов функции

Функция f(x) имеет максимум (минимум) в точке х₀, если у этой точки существует окрестность, в которой f(x)< f(x₀) (f(x)> f(x₀)) для х≠ х₀.

Максимум и минимум объединяются наименованием экстремум.

Теорема 1.(необходимое условие экстремума). Если точка х₀ является точкой экстремума функции у=f(x) и в этой точке существует производная f ‘(x₀), то она равна нулю: f ‘(x)=0.

Точки, где f ‘(x)=0 или не существует называются критическими.

Теорема 2.(достаточное условие). Пусть функция f(x) непрерывна в точке х₀ и в ее δ – окрестности имеет производную, кроме, быть может, самой точки х₀. Тогда

а) если производная f ‘(x) при переходе через точку х₀ меняет знак с плюса на минус, то точка х₀ является точкой максимума функции f(x);

б) если производная f ‘(x) при переходе через точку х₀ меняет знак с минуса на плюс, то точка х₀ является точкой минимума функции f(x);

в) если существует окрестность (х₀-δ; х₀+δ) точки х₀, в которой производная f ‘(x) сохраняет свой знак, то в точке х₀ данная функция f(x) не имеет экстремума.

Пример 2. Исследовать на экстремум функции у = 3 -5х - .

Решение: у’= -5-2x

-5-2х=0

-2х=5

х= - 2, 5

При переходе через точку х= - 2, 5 производная у’ меняет знак с «+» на «-» ==> х = -2, 5 точка максимума. x_max= - 2, 5; у_max = 9, 25.