Линейное пространство

Пусть задано множество L, элементами которогомогут быть как числа (числовые множества), так и другие объекты (векторы, матрицы, функции и т.д.). Элементы множества L будем обозначать или (в зависимости от ситуации).

В зависимости от свойств элементов множества, операций, которые вводятся над элементами множества и свойствами этих операций, множества подразделяются на группы, кольца, поля, алгебры, линейные пространства и т.д. Мы остановимся на изучении множеств, которые называются линейными пространствами. С остальными типами множеств можно ознакомиться по учебнику А.Г. Курош «Курс высшей школы».

Пусть в множестве L введены две операции.

Операция сложения элементов множества, когда ставится в соответствие элемент единственный элемент , называемый суммой элементов и обозначаемый .

Операция умножения элементов множества на действительное (комплексное) число, когда и ставится в соответствие единственный элемент , называемый произведением х на действительное (комплексное) число и обозначаемый .

Определение 1. Множество L называется линейным пространством над полем действительных (комплексных) чисел, если операции сложения элементов и умножения на действительное (комплексное) число, обладают свойствами:

1) (коммутативность операции сложения);

2) (ассоциативность операции сложения);

3) , такой что (элемент а называется нулевым и обозначается 0);

4) , такой что (элемент b называется противоположным элементу х и обозначается у = - х);

5) ;

6) и ;

7) и ;

8) и .

Замечание. Свойства 1) – 8) называются аксиомами линейного пространства.

Среди известных нам множеств, линейными пространствами являются, например:

· множество комплексных чисел (как над полем комплексных, так и над полем действительных чисел),

· множество действительных чисел (над полем действительных чисел);

· множество матриц размера (над каким полем?);

· множество векторов плоскости, исходящих из одной точки (над полем действительных чисел).

К множествам, не являющимся линейными пространствами, относятся, например:

· множество натуральных чисел;

· множество целых чисел;

· множество рациональных чисел.

Если множество L является линейным пространством, то из свойств 1) – 8) следует следующие интересные результаты, которые принято называть следствиями из аксиом.

Следствие 1. Если L – линейное пространство, то существует единственный нулевой элемент.

Доказательство. Применим метод от противного: предположим, что существуют два элемента , такие что:

и .

В этом случае получаем, что с одной стороны: , так как - нулевой элемент; а с другой стороны: , так как - нулевой элемент. Получаем противоречие. Следовательно, предположение – неверное, и . Т. е. нулевой элемент – единственный.

Следствие 2. Если L – линейное пространство, то существует единственный противоположный элемент .

Доказательство. Применим метод от противного: предположим, что нашелся элемент , для которого существуют два элемента , такие что:

и .

В этом случае получаем, что с одной стороны:

, так как - элемент, противоположный элементу x; а с другой стороны:

так как - элемент, противоположный элементу x. Получаем противоречие. Следовательно, предположение – неверное, . Т. е. противоположный элемент – единственный.