Сформулювати теорему про корельованість складових нормально розподіленої двовимірної в.в.

а) Мат. сподівання двохвимірної випадкової величини (X, Y) характеризує координати центру розподілу випадкової величини. Ці координати знаходять за формулами:

Дисперсії D_X та D_Y характеризують розсіювання випадкової точки (X, Y) вздовж координатних осей Ox та Oy, відповідно. Їх знаходять за формулами:

б) Условным мат. ожиданием ДСВ Y при X=x (x – определенное возможное значение X) называют произведение возможных значений Y на их условные вероятности:

M(Y|X=x)=

Для непрерывных величин , где - условная плотность случайной величины Y при X=x.

в) Для опису двохвимірної випадкової величини використовують також кореляційний момент (або коваріація): K_XY=M((X-m_X)(Y-m_Y))= . Корреляционным моментом μ _xy случайных величин X та Y называют мат. ожидание произведения отклонений этих величин. Для ДСВ: Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y.

г) коефіцієнт кореляції є кількісна характеристика залежності випадкових величин X та Y і часто використовуються в статистиці.

Коэффициенттом корреляции r_xy случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

Дати означення функції випадкової величи. Записати формулу для находження щільності імовірностей фун-ції неперервного випадкового аргумента. Навести приклади побудови розподілу фун-ції д.в.в. та щільності імовірностей фун-ції н.в.в.

Н.В.В. Пусть х-действительное число. Вер-ть события, что Х примет значение, меньше х (Х < х), обозначим F(x)-фун-цией от х. Фун-цией распределения наз-ют фун-цию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше х, т.е. F(x)=P(X< x). Геометр.смысл: F(x)-вер-ть того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Законом распределения дискр.случ.вел.есть соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Задается таблично, аналитически, графически.

Пример распределения фун-ции Д.В.В:

В лотерее 100 билетов. Разыгрывают 1выигрыш в 50руб. и 10 выигр. По 1 руб. Найти

Закон.распр.случ.величины Х-стоимости выигрыша для владельца одного билета.

Решение: X: x =50, x =1, x =0. p =0, 01 =0, 01 =1( =0, 89. Закон распределения Х(50, 10, 0), р(0, 01; 0, 1; 0, 89).

Плотностью распределения вероятностей н.в.в. Х называют фун-цию f(x)-первую производную от фун-ции распределения F(x):

f(x)= F’(x) Т.е. фун-ция распределения – первообразная для плотности распределения. Для описания распределения д.в.в. неприменима.

46. Мат. сподівання ДВВ Х наз. число, яке = сумі добутків усіх можливих значень Х на відповідні їм імовірності.

М(Х)= для ДВВ

М(Х)= для НВВ

Дисперсією ДВВ Х наз. число, яке = мат. сподіванню квадрата відхилення ДВВ Х від її мат. сподівання.

D(X) = M((X- M(X))² для ДВВ

D(X) =

47 (x; y) = ( F(x; y))/( x * y)- функція щільності СНВВ.

Нехай випадкова дискретна величина Х приймає значення х1, х2, …Xn з відповідними ймовірностями р1, р2, …Pn.

Задати закон розподілу такої ВВ- це задати рівність Pk=P(X= ), яку можна розглядати як функцію.

Існують

1.Біноміальний ЗР

2.Пуассона

3.Геометричний

4.Гіпергеометричний

5.Поліноміальний

48. Розподіл Пірсона (х²)

- теоретичні частоти

- спостережене значення критерія

Розподіл Стьюдента (t)

Нехай Z –нормальна ВВ, M(Z)=0, (Z)=1, а V- незалежна від Z величина, яка розподілена по закону ступенями вільності. Тоді величина: Т=Z/(V/k)

Має розподіл, який наз. t-розподілом з k ступенями вільності.

Розподіл Фішера (F)

Якщо U і V- НВВ, розподілені по закону зі степенями вільності К1 і К2.К1- число степенів вільності більшої дисперсії.К2- число степенів вільності меншої дисперсії

F=(U/k1)/(V/k2)Має розподіл, який наз. розподілом F Фішера.

Щильність цього розподілу:

f(x)= якщо x> 0

49. Предмет МС є розробка методів, збору і обробки інформації, аналізу результатів обробки з метою одержання науково-обгрунтованих висновків і вироблення практичних рекомендацій.

Основні задачі:

1. розробка методів збору статистичних даних та їх групування

2. оцінка невідомих параметрів сукупності за даними вибору

3. розробка методів виявлення наявності, виду, щильності, взаємозв’язків між ознаками

4. перевірка статистичних гіпотез

50. Генеральна – сукупність об’єктів, з яких зроблено вибірку.

Вибіркова – сукупність випадково взятих об’єктів.

Об’ємом сукупності наз. кількість об’єктів цієї сукупності.

Повторною наз. Вибірку, при якій відібраний об’єкт повертається до генеральної сукупності перед відбором іншого об’єкту.

Вибірку наз. безповторною, якщо взятий об’єкт до генеральної сукупності не повертається. Найчастіше використовують без повторні вибірки.

Репрезентативна – вибірка, яка здійснюється випадково. Це вибірка яку можна ефективно використовувати для вивчення відповідної ознаки генеральної сукупності.

51. У матиматичній статистиці замість терміна “дані” вживають – “ варіанти ”. Числову характиистику варіанти при цьому наз. – ознакою. Нехай із генеральної сукупності взята вибірка об’єктів {х1, х2, …, х_n} об’єму n, для вивчення ознаки Х. Тобто значення х1, х2, …, х_n є варіанти ознаки Х.

Варіанти, що записані у табллиці у зростаячому (спадаючому) порядку, наз. варіаційним рядом. Ряд n_1, n_{2, …,} n_m наз рядом частот. Сумі усіх частот повинна дорівнювати об’єму вибірки. Дискретним варіаційним рядом наз. сукупність пар “варіанта-частота” (х_і-n_i), розташ. в порядку зростання варіанти. Інтервальним варіаційним рядом наз. сукупність пар “інтервал-частота”, розташ. в порядку зростання меж інтервалів. Додане число, що вказує, скільки раз та чи інша варіанта зустрічається в таблиці даних, наз. частотою.

Статистичний розподіл вибірки встановлює зв’язок мыж рядом варіант, що зростає або сподає, і відповідними частотами. Він може бути представлений таблицею

52. Емпірична функція розподілу вибірки - це така функція F*(х), значення якої для кожного числа х = відносній частоті події {X< x}. , де n_x – кількість варіант, які менші від х, n – об’єм вибірки.

. тобто F*(х)= Властивості: 1. 0< = F*(х)< =1; 2. F*(х) – зростаюча функція; 3. F*(х)=0 при x< =x1 i F*(х)=1 при x> x_m де х1 – наіменша варіанта, x_m – найбільша варіанта.

53. Полігоном частот наз. ламану, відрізки якої з’єднують точки (x1, N1), (x2, n2), …, (x_m, n_m) Полігоном выдносних частот (частостей) наз. ламану, відрізки якої проходять черезточки (x1, w1), (x2, w2), …, (x_m, w_m). Полігони частот та частостей є аналогами щільності імовірностей . Гістограмою частот називають ступінчасту фігуру, яка складається з прямокутників, основами яких є часткові інтервали варіант довжиною h= x_k – x_k-1, а висоти дорівнюють (щільність частоти). Гістограмою відносних частот (частостєй) на­зивають ступінчасту фігуру, яка складається з прямо­кутників, основами яких є часткові інтервали варіант, а висоти дорівнюють відношенню (щільність часто­сті).Площа гістограми частот дорівнює об'єму вибірки, а площа гістограми частостєй - одиниці.Для накопиченої частоти і накопиченої відносної ча­стоти можуть бути побудовані графіки схожі на полігон частот. Ці графіки називаються полігоном накопиче­ної частоти або полігоном накопиченої відносної частоти. У статистиці також їх називають огівою або кумулятивною кривою. Полігон накопиченої частоти зручно використовувати у цілому ряді задач статистики.

54. Статистичною оцінкою невідомого параметра випадкової величини X генеральної сукупності (теоретичного розподілу X) називають функцію від ви­падкових величин (результатів вибірки), що спостеріга­ються..

Статистичну оцінку Ө * параметра Ө називають незсунутою, якщо М(Ө *) = Ө.

Оцінку Ө * називають зсунутою, якщо ця рівність не виконується.

Обгрунтованою називають ста­тистичну оцінку, яка при n —> прямує за імовірністю до оцінюваного параметра.

55. Простою середньоарифметичною вибірки називають суму варіант вибірки, поділену на об'єм вибірки, її позначають де Хі (і = 1, 2,..., m) - варіанти вибірки, n - об'єм вибірки.. Вибірковою середньою або зваже­ною середньоарифметичною називають середню ариф­метичну варіант вибірки з врахуванням їх частостей і позначають де п - об'єм вибірки, т - число різних варіант,

n1, n2, …, п_т - частоти варіант (п = п1 +... + п_т), Хі - значення i-ої варіанти. Вибіркова середня є аналогом математичного сподівання і використовується дуже часто. Вона може приймати різні числові значення при різних вибірках однакового об'єму.

Тому можна розглядати розподіли (теоретичний та ем­піричний) вибіркової середньої та числові характеристики цього розподілу (цей розподіл називають вибірковим).